Kombinasyon

MiM

Admin
Yönetici
Membership
Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden, sıra gözetmeksizin yapılan seçimler olarak düşünülebilir, dolayısı ile nesne grubunun tekabül ettiği kümenin alt kümeleri olarak düşünebilir. Çünkü, alt kümelerde sıra önemli değildir. O halde şöyle tanımlayabiliriz: Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir. Örneğin, 52 iskambil kartı arasından seçeceğiniz 4 kart, kartları seçme sıranız önemli olmadığından bir kombinasyon problemidir.


Kombinasyonların sayılması

n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı kombinasyonların toplamı aşağıdaki formülle ifade edilir:



Kombinasyonun permütasyondan farkı, seçilen elemanlarının sırasının hesaba katılmaması olduğundan; kombinasyonların toplamını, P(n,r) permütasyonların toplamını seçilen elemanların kendi aralarındaki sıralanma sayılarına (r! veya P(r,r)) bölerek bulabiliriz...
 
[TB] Benzer konular Forum Tarih
fussilet Video Dersler 0 208

[TB] Benzer konular

MiM

Admin
Yönetici
Membership
Ynt: Kombinasyon

KOMBİNASYON

Tanım: A, n elemanlı sonlu bir küme ve r ≤ n olmak üzere, A kümesinin r elemanlı her alt kümesine, bu kümenin r li kombinasyonu denir ve C (n, r) veya
biçiminde gösterilir.

ÖRNEKLER

1. Burcu Gizem ve Ecem’ den oluşan 3 kişilik bir gruptan;
a) Biri başkan, diğeri başkan yardımcısı olmak üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?
b) Bir yarışmaya gönderilmek üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?

Çözüm:

a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi başkan, ikincisi başkan yardımcısı olmak üzere ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarıdır.

A kümesinin ikili permütasyonları

(sıralı ikililer)

(Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)
(Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)
(Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)

Bu sıralı ikililerin sayısı 6’dır. Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarız. Burada ayrıca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklı permütasyonlar olduğu açıktır.
Permütasyonda sıra önemlidir.

b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarışmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kişilik kümeler oluşturalım.Bu kümeler, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleridir.

A kümesinin ikili alt kümeleri

(kombinasyonlar)

{Burcu, Gizem}
{Burcu, Ecem}
{Gizem, Ecem}
A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin (kombinasyonlarının) sayısı 3 tür. Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarız. Ayrıca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin aynı olduğu açıktır.
Kombinasyonda sıra önemli değildir.


2. A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarını yazalım.

Çözüm:
2 li alt kümeleri 2 li permütasyonları
(kombinasyonları) (sıralı ikililer)

{a,b} (a,b) (b,a)
{a,c} (a,c) (c,a)
{b,c} (b,c) (c,b)

Yukarıda gördüğünüz gibi, 3 elemanlı kümenin 2 li alt kümelerinin sayısı,
C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonların sayısı p(3,2)=6 dır.

Bunu, 2 ! . C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz.



Teorem: r n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r)= = dir.

İSPAT: n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r) dir. Bu alt kümelerin her birindeki elemanların tüm sıralanışlarının (permütasyonlarının) sayısı da r! olduğundan r! . C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz. Buradan,

C(n,r)= = = bulunur.

ÖRNEKLER:

1. A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarının) sayısını bulalım.

Çözüm: A kümesinin 5 elemanlı olduğundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacağız.
1. YOL: C(5,3) bulunur.
2. YOL: C(5,3) bulunur.


2. 10 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulabilir.

Çözüm: 10 kişilik gruptan 5 kişi seçerken sıra önemli değildir. Örneğin, bu takımın {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olması farklı seçim olmaz. Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparız. O halde, oluşturulacak 5 kişilik grupların sayısı,
C(10,5) olur.

3. 2.C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtır?

Çözüm: 2.C(n,2)=C(2n,1)


2
n.(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur. n=0 olmayacağından n=3 tür.

4. Herhangi 3 tanesi doğrusal olmayan 6 noktadan kaç doğru geçer.

Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanın sırası önemli değildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri aynı doğruyu gösterir.). O halde, oluşacak doğru sayısını, kombinasyonla buluruz. Bu durumda, 6 noktadan,

doğru geçer.

5. 3 erkek ve 2 bayandan oluşacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasından kaç türlü seçilebilir?

Çözüm: 6 erkek arasından 3 erkeği C(6,3); 4 bayan arsından 2 bayanı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçebiliriz.

Genel çarpma kuralına göre bu seçimi;

türlü yapabiliriz.

6. n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının olduğunu gösterelim.
Çözüm: n kenarlı bir çokgende n tane köşesi vardır. İki noktadan bir doğru geçtiğinden, köşegen sayısını bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarının sayısını bulmalıyız. Ancak, komşu olan iki köşeden köşegen geçemeyeceğinden(bunlar, çokgenin kenarlarıdır.), C(n,2) den, kenar sayısı olan n çıkarılır. O halde, n kenarlı çokgenin köşegen sayısı;
bulunur.


Kombinasyonla ilgili bazı özellikler:

1.
2.
3.
4.
Bu eşitliklerin ispatını, C(n,r) formülünden yararlanarak yapınız.



ÖRNEKLER:


1. C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) işlemini yapalım.

Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan
C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur.

2. toplamını üstteki 4. özelliği kullanarak bulalım.

Çözüm: olur.



bulunur.

3. 5 farklı matematik ve 4 farklı Türkçe kitabından; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabını, bir kitaplığın rafına kaç türlü yerleştirebiliriz?

Çözüm: 5 farklı matematik kitabı arasından; 3 matematik kitabı C(5,3) kadar farklı şekilde seçilebilir. 4 farklı Türkçe kitabından; 2 Türkçe kitabı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu kitaplar,
C(
5,3) . C(4,2) . 5! = 10 . 6 . 120 = 7200 farklı sıralanabilir.
 
Üst