AsaL SayıLaR

MiM

Admin
Yönetici
Membership
Kendisinden ve 1 sayısından başka pozitif böleni olmayan,

1'den büyük sayılara pozitif asal sayı denir.


--------------------------------------------------------------------------------

İlk asal sayma sayısı 2' dir.


--------------------------------------------------------------------------------

2 sayısı, çift olan tek asal sayma sayısıdır.

Diğer çift sayılar 2 ile tam bölündüklerinden asal değildirler.


--------------------------------------------------------------------------------

ÖRNEK:

50' den küçük asal sayma sayıları : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47' dir.


--------------------------------------------------------------------------------

Asal sayılar kümesi sonsuz elemanlıdır.


--------------------------------------------------------------------------------

Asal olmayan sayma sayıları, kendilerinden önceki asal sayılardan uygun olanları kullanılarak çarpanlara ayrılabilirler.


--------------------------------------------------------------------------------

Örneğin 6 = 2 . 3, 8 = 2 . 2 . 2, 75 = 3 . 5 . 5 olmaktadır.


--------------------------------------------------------------------------------

Bu çarpanlara ayrılışta, tekrar eden çarpanlar için üslü yazılış kullanılırsa,

( 8 = 23, 75 = 3 . 52 gibi )

elde edilen yazılışa,

söz konusu sayının Asal Çarpanlara Ayrılışı,

bu işleme de

Asal Çarpanlara Ayırma

denir.

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEKLERİ:

4 = 22
6 = 2 . 3
9 = 32
10 = 2 . 5
12 = 22 . 3

14 = 2 . 7
15 = 3 . 5
16 = 24
18 = 2 . 32
20 = 22 . 5






ASAL ÇARPANLARA AYIRMA UYGULAMALARI:



ORTAK BÖLENLERIN EN BÜYÜĞÜ ( O.B.E.B.):



O.B.E.B. kavramını açıklamak için 12 ve 18 sayılarını ele alalım.

12' nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6,ve 12' dir.

18' in pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6, 9,ve 18' dir.

Bu bölenler arasında her iki sayıda da bölen olan sayılar ( ortak bölenler ) 1, 2, 3 ve 6' dır.

Bu ortak bölenler içinde en büyük olan sayı da " 6 " dır.

Bu şekilde elde edilen " 6 " sayısına, 12 ve 18 sayılarının Ortak Bölenlerinin En Büyüğü ( O.B.E.B.' i ) denir.


--------------------------------------------------------------------------------

O.B.E.B. ( 12 , 18 ) = 6


--------------------------------------------------------------------------------
ARALARINDA ASAL SAYILAR:

--------------------------------------------------------------------------------

O.B.E.B.'i "1" olan sayılara Aralarında Asal denir.


--------------------------------------------------------------------------------

Yukarıda 12 ve 18 sayıları için yaptığımız işlemi 14 ve 15 sayıları için yapalım.

14' ün pozitif bölenleri 1, 2, 7 ve 14' tür.

15' in pozitif bölenleri 1, 3, 5 ve 15' tir.

Bu bölenler arasında her iki sayıda da bölen olan tek sayı ( ortak bölen ) " 1 " dir.

Bu durumda 14 ve 15 sayılarının O.B.E.B.' i " 1 " dir.


--------------------------------------------------------------------------------

14 ve 15 sayıları aralarında asaldır.


--------------------------------------------------------------------------------
O.B.E.B.'İN ÖZELLİKLERİ:

12 ve 18 örneğine geri dönerek, bu sayıların O.B.E.B.'i olan 6 sayısının özelliklerini inceleyelim.

6 sayısı 12' yi böler.
6 sayısı, 18' i de böler.
6 sayısı, 12 ve 18 sayılarının ikisini de bölen en büyük sayıdır.
12 ve 18' in tüm ortak bölenleri, ( ±1, ±2, ±3 ve ±6 ) 6' nın bölenleridir.
12 ve 18 sayıları 6 sayısı kullanılarak çarpanlara ayrılabilirler ( 12 = 6 . 2, 18 = 6 . 3 ) ve bu ayrılışlarda, 6 ile çarpıldıkları zaman 12 ile 18' i veren diğer çarpanlar ( 2 ile 3 ) aralarında asaldır.
( Örneğin 12 ile 18 sayıları, 3 sayısı kullanılarak da çarpanlara ayrılabilirler, ( 12 = 3 . 4, 18 = 3 . 6 ), ama bu ayrılışlarda, 3 ile çarpıldıkları zaman 12 ile 18' i veren diğer çarpanlar ( 4 ile 6 ) aralarında asal değildirler, ( O.B.E.B.( 4, 6 ) = 2 ); bu yüzden 12 ile 18 sayılarının O.B.E.B.'i 3 değildir.)

Bu sonuçları genelleştirelim:

O.B.E.B. ( a , b ) = d ise :

d sayısı a sayısını böler.
d sayısı, b sayısını da böler.
d sayısı, a ve b sayılarının ikisini de bölen en büyük sayıdır.
a ve b sayılarının tüm ortak bölenleri, d' nin bölenleridir.
a ve b sayıları d sayısı kullanılarak çarpanlara ayrılabilirler ( a = d . m, b = d . n ) ve bu ayrılışlarda, d ile çarpıldıkları zaman a ile b' yi veren diğer çarpanlar ( m ile n ) aralarında asaldır.




O.B.E.B. BULMAK:



BİRİNCİ YÖNTEM:

O.B.E.B.'i bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrılırlar.
Bu ayrılışlarda, sadece tüm sayılarda bulunan asal çarpanlar, görünen üslerinin en küçüğü ile alınıp çarpılırlar.
Bu yöntemle, 84, 90, 735 sayılarının O.B.E.B.'ini bulalım:

84, 90 ve 735 sayıları

84 = 22 . 3 . 7 ,

90 = 2 . 32 . 5 ,

735 = 3 . 5 . 72

şeklinde asal çarpanlara ayrılırlar.

Bu ayrılışlarda, tüm sayılarda bulunan asal çarpan 3 sayısıdır.

3 sayısının 84 ve 735' teki üssü 1; 90' daki üssü 2' dir.

O.B.E.B. bulunurken 3 sayısı birinci üs ile ( 3 olarak ) alınacaktır.

Üç sayıda birden bulunan 3' ten başka asal çarpan olmadığına göre, 84, 90 ve 735 sayılarının O.B.E.B.' i " 3 " olarak elde edilmiş olur.


--------------------------------------------------------------------------------

O.B.E.B. ( 84, 90, 735) = 3


--------------------------------------------------------------------------------



İKİNCİ YÖNTEM:

O.B.E.B.' i bulunacak sayılar yanyana yazılır, sonuncu sayıdan sonra düşey bir çizgi çekilir.
Bu çizginin sağına, O.B.E.B.' i aranan sayıların hepsini birden bölen ilk asal sayı yazılır.
Sol taraftaki sayılar bu asal sayı ile bölünür, elde edilen bölümler her sayının altına yazılır.
Sonra, düşey çizginin sağına, bu bölümlerin hepsini birden bölen ilk asal sayı yazılır.( Bu sayı, önceki asal sayının aynısı olabilir )
Sol taraftaki bölümler bu asal sayı ile bölünür, elde edilen bölümler her sayının altına yazılır.
Bu işleme, sol taraftaki sayıların hepsini birden bölen hiçbir asal sayı kalmayıncaya kadar devam edilir.
Sol taraftaki sayıların hepsini birden bölen hiçbir asal sayı kalmayınca, çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, aranan O.B.E.B.' i verir.
Bu yöntemle, 60, 140, 180 sayılarının O.B.E.B.'ini bulalım:

60 140 180 | 2
30 70 90 | 2
15 35 45 | 5
3 7 9 |

Son satırda sol tarafta oluşan 3, 7, 9 sayılarının hepsini birden bölen hiçbir asal sayı kalmamıştır.

Buna göre 60, 140, 180 sayılarının O.B.E.B.'i, düşey çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı olan

2 . 2 . 5 = 22. 5 = 20

sayısıdır.


--------------------------------------------------------------------------------

O.B.E.B. ( 60, 140, 180) = 20


--------------------------------------------------------------------------------
ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ ( O.K.E.K.):



O.K.E.K. kavramını açıklamak için yine 12 ve 18 sayılarını alalım.

12'nin pozitif katları 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, . . . şeklindedir.

18'in pozitif katları da 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, . . . şeklindedir.

Bu katlar arasında her iki sayıda da kat olan sayılar ( ortak katlar ) 36, 72, 108, . . . şeklindedir.

Bu ortak katlar içinde en küçük olan sayı da 36' dır.

Bu şekilde elde edilen 36 sayısına, 12 ve 18 sayılarının Ortak Katlarının En Küçüğü ( O.K.E.K.' i ) denir.


--------------------------------------------------------------------------------

O.K.E.K. ( 12 , 18 ) = 36


--------------------------------------------------------------------------------
ARALARINDA ASAL SAYILARIN O.K.E.K.' İ:



Yukarıda 12 ve 18 sayıları için yaptığımız şslemi 14 ve 15 sayıları için yapalım.

14' ün pozitif katları 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, . . . şeklindedir.

15'in pozitif katlari da 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, . . . şeklindedir.

Bu katlar arasında her iki sayıda da kat olan ilk sayı 210' dur.

14 ve 15 sayılarının O.K.E.K.'i olan 210 sayısı, 14 ile 15' in çarpımıdır.


--------------------------------------------------------------------------------

Aralarında asal sayıların O.K.E.K.'i, o sayıların çarpımıdır.


--------------------------------------------------------------------------------

14 ve 15 sayıları aralarında asaldır.

O.K.E.K.( 14, 15) = 14 . 15 = 1260 ' tır.


--------------------------------------------------------------------------------
O.K.E.K.' İN ÖZELLİKLERİ:

12 ve 18 örneğine geri dönerek, bu sayıların O.K.E.K.'i olan 36 sayısının özelliklerini inceleyelim.

36 sayısı 12' nin tam katıdır.
36 sayısı, 18' in de tam katıdır.
36 sayısı, 12 ve 18 sayılarının ikisinin de tam katı olan en küçük sayıdır.
12 ve 18' in tüm ortak tam katları, ( 36, 72, 108, . . . ) " 36 " nın tam katlarıdır.
Bu sonuçları genelleştirelim:

O.K.E.K. ( a , b ) = k ise :

k sayısı a sayısının tam katıdır.
k sayısı, b sayısının da tam katıdır.
k sayısı, a ve b sayılarının ikisinin de tam katı olan en küçük sayıdır.
a ve b sayılarının tüm ortak tam katları, k ' nin tam katlarıdır.




O.K.E.K. BULMAK:



BİRİNCİ YÖNTEM:

O.K.E.K.' i bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrılırlar.
Bu ayrılışlarda, tüm sayılarda bulunan tüm asal çarpanlar, görünen üslerinin en büyüğü ile alınıp çarpılırlar.
Bu yöntemle, 84, 90, 735 sayılarının O.B.E.B.' ini bulalım:

84, 90 ve 735 sayıları

84 = 22 . 3 . 7 ,

90 = 2 . 32 . 5 ,

735 = 3 . 5 . 72

şeklinde asal çarpanlara ayrılırlar.

Bu ayrılışlarda, tüm sayılarda bulunan tüm asal çarpanlar 2, 3, 5 ve 7 sayılarıdır.

2 sayısının 84' teki üssü 2, 90'daki üssü 1' dir.

3 sayısının 84 ve 735' teki üssü 1; 90' daki üssü 2' dir.

5 sayısının 90 ve 735' teki üssü 1' dir.

7 sayısının 84' teki üssü 1, 735'teki üssü 2' dir.

O.K.E.K. bulunurken 2 , 3 ve 7 sayıları ikinci üs ile ( 22, 32, 72 olarak ),

5 sayısı ise birinci üs ile ( 5 olarak ) alınacaktır.

Buna göre, 84, 90 ve 735 sayılarının O.K.E.K.' i " 22. 32. 5 . 72 = 8820 " olarak elde edilmiş olur.


--------------------------------------------------------------------------------

O.K.E.K. ( 84, 90, 735) = 8820


--------------------------------------------------------------------------------



İKİNCİ YÖNTEM:

O.K.E.K.' i bulunacak sayılar yanyana yazılır, sonuncu sayıdan sonra düşey bir çizgi çekilir.
Bu çizginin sağına, O.K.E.K.' i aranan sayılardan herhangi birini bölen ilk asal sayı yazılır.
Sol taraftaki sayılar bu asal sayı ile bölünür, elde edilen bölümler her sayının altına yazılır.
Bu asal sayı ile bölünmeyen sayı bir alt satıra aynen aktarılır.
Sonra, düşey çizginin sağına, ikinci satırdaki sayılardan yine herhangi birini bölen ilk asal sayı yazılır. ( Bu sayı, önceki asal sayının aynısı olabilir. )
Bu işleme, sol taraftaki sayıların hepsi birden " 1 " oluncaya kadar devam edilir.
Sol taraftaki sayıların hepsi birden " 1 " olunca, çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, aranan O.K.E.K.' i verir.
Bu yöntemle, 60, 140 ve 180 sayılarının O.K.E.K. ' ini bulalım:

60 140 180 | 2
30 70 90 | 2
15 35 45 | 3
5 35 15 | 3
5 35 5 | 5
1 7 1 | 7
1 1 1 |

Son satırda, sol taraftaki sayıların hepsi birden " 1 " olmuştur.

Buna göre 60, 140, 180 sayılarının O.K.E.K.' i,

düşey çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı olan

2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 7 = 22. 32 . 5 . 7= 1260

sayısıdır.


--------------------------------------------------------------------------------

O.K.E.K. ( 60, 140, 180) = 1260


--------------------------------------------------------------------------------

Herhangi bir problemde, bazı sayıların hem O.B.E.B.' i, hem O.K.E.K.' i gerekebilir. Tek bir işlemle hem O.B.E.B.' i, hem O.K.E.K.' i bulmak için ya sayılar asal çarpanlara ayrılıp O.B.E.B. ve O.K.E.K. birinci yönteme göre elde edilir; ya da ikinci yöntemle O.K.E.K. bulma tablosu yapılır ve sayıların hepsini birden bölen asal sayılara gelindikçe, bu sayılar daire içine alınarak diğerlerinden farklı oldukları belirtilir. O.B.E.B. için sadece daire içine alınmış sayıların, O.K.E.K. için ise çizginin sağındaki tüm asal sayıların çarpımı alınır.
Buna göre, 90, 630 ve 1260 sayılarının O.B.E.B. ve O.K.E.K.' ini her iki yöntemle bulalım.

BİRİNCİ YÖNTEMLE:

90 = 2 . 32 . 5

630 = 2 . 32 . 5 . 7

1260 = 22 . 32 . 5 . 7

O.B.E.B.( 90, 630, 1260 ) = 2 . 32 . 5 = 90

O.K.E.K.( 90, 630, 1260 ) = 22 . 32 . 5 . 7 = 1260

elde edilir.

İKİNCİ YÖNTEMLE:

90 630 1260 | 2
45 315 630 | 2
45 315 315 | 3
15 105 105 | 3
5 35 35 | 5
1 7 7 | 7
1 1 1 |

Benzer şekilde,

O.B.E.B.( 90, 630, 1260 ) = 2 . 32 . 5 = 90

O.K.E.K.( 90, 630, 1260 ) = 22 . 32 . 5 . 7 = 1260

elde edilir.


--------------------------------------------------------------------------------

SADECE İKİ SAYI İÇİN GEÇERLİ BİR KURAL :


--------------------------------------------------------------------------------

İki sayının çarpımı, bu sayıların O.B.E.B.'i ile O.K.E.K.'inin çarpımına eşittir.


--------------------------------------------------------------------------------

ÖRNEK:

O.B.E.B.( 12,18 ) = 6 ve O.K.E.K.( 12, 18 ) = 36 ' dır.

12 . 18 = 216

6 . 36 = 216

olduğundan

12 . 18 = 216 = 6 . 36

yani

12 . 18 = O.B.E.B.( 12, 18 ) . O.K.E.K.( 12, 18 )

olmaktadır.


--------------------------------------------------------------------------------

Bu kural ikiden fazla sayıda sayıya uygulanamaz!


--------------------------------------------------------------------------------

Örneğin

O.B.E.B.( 6, 12,18 ) = 6

ve

O.K.E.K.( 6 , 12, 18 ) = 36 ' dır.

AMA

6 . 12 . 18 = 1296

iken

6 . 36 = 216 ' dır.

O halde

( 1296 ¹ 216 olduğundan, )


--------------------------------------------------------------------------------

İkiden fazla sayıda sayı için,

Sayıların çarpımı, " Sayıların O.B.E.B.'i ile O.K.E.K.' inin çarpımına eşittir. " kuralı uygulanamaz.


--------------------------------------------------------------------------------

Bu kural, İKİ sayı için daima geçerlidir.


--------------------------------------------------------------------------------

" a ve b sayılarının O.B.E.B. ' i " d " ise, a = d . m ve b = d . n şeklinde yazılabilir ve bu yazılışlarda m ile n aralarında asaldır "

" İki sayının çarpımı, bu sayıların O.B.E.B.'i ile O.K.E.K.' inin çarpımına eşittir. "

kurallarının birlikte kullanımına bir örnek:


--------------------------------------------------------------------------------

g

ÖRNEK:

a ve b birer sayma sayısıdır.

a ve b sayılarının O.B.E.B. ' i " 4 " ve O.K.E.K.' i " 56 " dır.

a > b olmak üzere bu koşullara uyan kaç ( a, b ) ikilisi vardır ?

A ) 5 B ) 4 C ) 3 D ) 2 E ) 1



g

ÇÖZÜM:

a ve b sayma sayılarının O.B.E.B. ' i " 4 " olduğuna göre, m ile n sayma sayıları olmak üzere,

a = 4 . m ve b = 4 . n

şeklinde yazılabilir ve bu yazılışlarda m ile n aralarında asaldır.

( Problemde a > b belirtildiğine göre, m > n ' dir )

Ayrıca, a ile b sayılarının çarpımı, bu sayıların O.B.E.B. ' i ile O.K.E.K. ' inin çarpımına eşittir.

O halde, a . b = 4 . 56 ' dır.

Bu eşitlikte a yerine 4 . m ve b yerine 4 . n yazalım:

4 . m . 4 . n = 4 . 56

olur.

Burada sadeleştirme yapıldığı zaman

m . n = 14

bulunur.

" m > n olmak üzere, aralarında asal hangi m ve n sayma sayıları için m . n = 14 olur ? "

sorusuna kolaylıkla yanıt buluruz :

Ya m = 14 ve n = 1 ' dir ( 14 ve 1 aralarında asaldır ),

ya da m = 7 ve n = 2 ' dir ( 7 ile 2 de aralarında asaldır ).

O halde

Ya a = 4 . 14 = 56

ve

b = 4 . 1 = 4

olur,

ya da

a = 4 . 7 = 28

ve

b = 4 . 2 = 8

olur.

Bu durumda

problemde istenen koşulları sağlayan İKİ ( a, b ) ikilisi olduğu bulunmuş olur.

[ ( a, b ) = ( 56, 4 ) ya da ( a, b ) = ( 28, 8 ) ]

YANIT : D

 

[TB] Benzer konular

Üst