Haziran 20, 2019, 11:15:01 S
Haberler:

O ki, hanginizin daha güzel davranacaðýný sýnamak için ölümü ve hayatý yaratmýþtýr. O, mutlak galiptir, çok baðýþlayýcýdýr. (Mulk -2)

BÝNOM AÇILIMI

Balatan MiM, Aralk 20, 2008, 07:08:27 S

« nceki - sonraki »

0 ye ve 1 Ziyareti konuyu incelemekte.

Aa git

MiM

BÝNOM AÇILIMI
 
Ýranlý matematikçi, astronom, filozof, þair Ömer Hayyam Niþabur kentinde doðdu. Niþapur' da eðitim gördüðünden ve hayatýnýn çoðunu Semerkand' da geçirdiðinden baþka hayatýyla ilgili bilgi yoktur. Sarayda her türlü imkana sahip bir þekilde Þah'ýn emrinde çalýþmayý reddederek hayatýný ilim araþtýrmaya adamýþtýr. Ýlmini geniþletmek için zamanýn ilim merkezleri olan Semerkand, Buhara, Ýsfahan'a yolculuklar yapmýþtýr. 1123 - 1124 yýlýnda Niþapur' da ölmüþtür.

Onun katkýda bulunduðu ilimlerin baþýnda cebir gelir. 3. dereceden denklemler de dahil olmak üzere bir çok cebir denklemini sýnýflandýrmak için uðraþmýþtýr ve bunlarýn bir kýsmýna çözüm de bulmuþtur." Makalat fi el cebir ve el Mukabele" cebir üzerine bir baþyapýttýr ve cebirin geliþmesinde büyük öneme sahiptir. Denklemleri karmaþýklýklarýna göre sýnýflandýrýr. Nitekim, Hayyam 13 farklý 3. dereceden denklem tanýmlamýþtýr. Denklemleri çoðunlukla geometrik metot kullanarak çözmüþtür ve bu çözümler zekice seçilmiþ  konikler üzerine dayandýrýlmýþtýr. Bu kitabýnda iki koniðin arakesitini kullanarak 3. dereceden her denklem tipi için köklerin bir geometrik çizimi bulunduðunu belirtir ve bu köklerin varlýk koþullarýný tartýþýr.

Bunun yaný sýra Hayyam, binom açýlýmýný da bulmuþtur. Aslýnda binom teoremini ve bu açýlýmdaki katsayýlarý bulan ilk kiþi olduðu düþünülmektedir. (Pascal üçgeni diye bildiðimiz þey aslýnda bir Hayyam üçgenidir ). Geometri alanýnda Öklid' in çalýþmalarý üzerinde durmuþ ve paralel doðrular teoremine katkýda bulunmuþtur. Hayyam Öklid' in 5. aksiyomunu yani bir doðruya dýþýndaki bir noktadan sadece bir tek paralel doðru çizilebileceðini ifade eden aksiyomu kanýtlamak için uðraþýrken bu aksiyomla üçgenin iç açýlarý toplamý arasýndaki iliþkiyi ortaya çýkarmýþtýr.

Selçuklu Sulataný Melikþah, Hayyam' ý Rey' deki gözlemevine çaðýrmýþ ve güneþ takvimi yapma görevini vermiþtir. Hayyam, oldukça doðru bir güneþ takvimi yapmýþtýr. Takvimdeki hata oraný 3770 yýlda 1 gündür ve Georgian takvimine göre çok daha kesin bir takvimdir(3330 yýlda 1 günlük  hata oraný)

Bir bilim adamý kimliðini ötesinde Hayyam ayrýca çok ünlü bir þairdir. 1839 yýlýnda Edward Fitzgerald Rubailer kitabýný Ýngilizce'ye çevirmiþtir ve bu sayede Batý'da tanýnmýþ ve klasikler arasýna girmiþtir. Bilindiði gibi, þiiri tamamýyla baþka bir dile çevirmek neredeyse imkansýzdýr, özellikle þiir mistik ve felsefi derin anlamlar içeriyorsa.  Buna raðmen, Rubailer kitabýnýn çevirilerinin   bu kadar çok tutulmuþ olmasý Hayyam' ýn çok geniþ ve zengin bir iç dünyasý olduðuna iþaret etmektedir.


MiM

x ve y reel sayý ve n pozitif bir doðal sayý olmak þartýyla

(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açýlýmý, bir diðer ifadeyle binom açýlýmý denir.



Binom açýlýmýndaki katsayýlarý paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...............................(x+y)0

1 1 ...........................(x+y)1

1 2 1 ......................(x+y)2

1 3 3 1 ...................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

Sonuçlar :

1.Açýlýmda n+1 tane terim vardýr.
2.Açýlýmý oluþturan terimlerin çarpanlarýnýn kuvvetleri toplamý n�dir. mesela, açýlýmýn bir terimi olan C (n,r) xn-r yr� de terimi oluþturan xn-r çarpaný ile yr çarpanýnýn kuvvetlerinin toplamý, n-r + r = n� dir.
3.Açýlýmda terimlerin katsayýlarýnýn toplamý deðiþkenlerin yerine 1 yazýlarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alýnýrsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n
olur. n elemanlý bir kümenin alt küme sayýsýnýn 2 n olduðunu hatýrlayýnýz. Benzer bir yaklaþýmla tanýmlý olduðu durumlar için deðiþkenlerin yerine 0 yazýlarak açýlýmýn sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazýlýrsa sabit terim 0 olur.

4. Açýlým x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiðinde baþtan (r+1) . terim ,

C(n,r) xn-r yr �dir.

5.(x+y) 2n açýlýmýnda n pozitif bir tam sayý ve açýlým x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiþ ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn �dir.

MiM

x ve y reel sayý ve n pozitif bir doðal sayý olmak þartýyla,

(x+y)^n = c(n,0).x^n + c(n,1).x^(n-1).y + c(n,2).x^(n-2).y^2 +........+ c(n,r).x^(n-r).y^r +.....+ c(n,n).y^n

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açýlýmý, bir diðer ifadeyle binom açýlýmý denir. binom açýlýmýndaki katsayýlar paskal üçgeninden bulunur.
   


3.
(a+b)^n = (n 0)(a^n)(b^0) + (n 1)[a^(n-1) . b^1] + (n 2)[a^(n-2) . b²] + ... + (n r)[a^(n-r) . b^r] + ... + (n n)[a^0 . b^n]

ifadesine binom açýlýmý, bir diðer deyiþle de iki terimlinin açýlýmý denir. bu açýlýmdaki genel terim (n r)[a^(n-r) . b^r] dir. yani, her terim genel terim gibi kombinasyonlu bir katsayý ile a ve b nin kuvvetlerinden oluþur.

>> açýlýmda n+1 terim vardýr.
>> her terimde a ve b nin üsleri toplamý n dir.

4.
(a+b)^n = (a+b)(a+b)...(a+b)(a+b)(a+b)*

>> a^(n-r).b^r li terim elde edebilmek için, n tane çarpandan n-r tane seçilip çarpýlmalý ki, a^(n-r) ifadesi elde edilebilsin.

>> (n-r) tane çarpan c(n, n-r) farklý þekilde oluþturulabilir. bunun için a^(n-r) li terimlerin katsayýsý c(n, n-r) oluyor. c(n, n-r) = c(n, r) olduðundan terim, c(n, r) . a^(n-r) . b^r formunda gösterilebilir.
 
5.
(a+b)^n ifadesinin açýlýmýnda katsayýlar;

(n 0).(n 1).(n 2).(n 3). ... .(n n) dir.

>> baþlangýç sýfýr olduðundan baþtan k. terim için, r = k - 1 olur.

>> baþtan k. terimde katsayý; c(n, k-1) olur.

6.
(a+b)^n ifadesinin açýlýmýnda katsayýlar sondan baþa sýrayla;

(n n).(n n-1).(n n-2).(n n-3). ... .(n 0) dýr.

>> baþlangýç n olduðundan sondan k. terim için, r = n - k + 1 olur.

>> sondan k. terimdeki katsayý; c(n, n-k+1) olur.
   
7. n çift olmak üzere, binom açýlýmýnda ortanca terim için r = n/2 formülü kullanýlýr

8.
n çift olmak üzere, binom açýlýmýnda ortanca terim için r = n/2 formülü kullanýlýr.

>> n tek olduðunda terim sayýsý çift olacaðýndan mütevellit, ortanca terim olamaz.

>> c(n, r) . a^(n-r) . b^r olur.
   
9.
binom açýlýmýnda k . x^y li terimi bulmak için;

c(n, r) . a^(n-r) . b^r = k . x^y

formülünde verilenler yerine yazýlarak, bilinmeyen bulunabilir.


Yukar git