Haziran 19, 2019, 07:23:26 ÖS
Haberler:

O kimseler, namazý kýlarlar, zekâtý verirler; onlar ahirete de kesin olarak iman ederler. (Lokman -4)

Kombinasyon

Baţlatan MiM, Aralýk 20, 2008, 06:54:50 ÖS

« önceki - sonraki »

0 Üye ve 1 Ziyaretçi konuyu incelemekte.

MiM

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden, sýra gözetmeksizin yapýlan seçimler olarak düþünülebilir, dolayýsý ile nesne grubunun tekabül ettiði kümenin alt kümeleri olarak düþünebilir. Çünkü, alt kümelerde sýra önemli deðildir. O halde þöyle tanýmlayabiliriz: Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir. Örneðin, 52 iskambil kartý arasýndan seçeceðiniz 4 kart, kartlarý seçme sýranýz önemli olmadýðýndan bir kombinasyon problemidir.


Kombinasyonlarýn sayýlmasý

n elemanlý bir kümeden seçilen r elemanlý kombinasyonlarýn toplamý aþaðýdaki formülle ifade edilir:



Kombinasyonun permütasyondan farký, seçilen elemanlarýnýn sýrasýnýn hesaba katýlmamasý olduðundan; kombinasyonlarýn toplamýný, P(n,r) permütasyonlarýn toplamýný seçilen elemanlarýn kendi aralarýndaki sýralanma sayýlarýna (r! veya P(r,r)) bölerek bulabiliriz...

MiM

KOMBÝNASYON: Videolu anlatým için...


TýKLayýNýZ

MiM

KOMBĂťNASYON

TanĂ˝m: A, n elemanlĂ˝ sonlu bir kĂĽme ve r ≤ n olmak ĂĽzere, A kĂĽmesinin r elemanlĂ˝ her alt kĂĽmesine, bu kĂĽmenin r li kombinasyonu denir ve C (n, r) veya
biçiminde gösterilir.

Ă–RNEKLER

1. Burcu Gizem ve Ecem’ den oluĂľan 3 kiĂľilik bir gruptan;
a) Biri baþkan, diðeri baþkan yardýmcýsý olmak üzere, 2 kiþi kaç türlü seçilebilir?
b) Bir yarýþmaya gönderilmek üzere, 2 kiþi kaç türlü seçilebilir?

Çözüm:

a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi baþkan, ikincisi baþkan yardýmcýsý olmak üzere ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarýdýr.

A kĂĽmesinin ikili permĂĽtasyonlarĂ˝

(sýralý ikililer)

(Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)
(Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)
(Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)

Bu sĂ˝ralĂ˝ ikililerin sayĂ˝sĂ˝ 6’dĂ˝r. Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarĂ˝z. Burada ayrĂ˝ca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklĂ˝ permĂĽtasyonlar olduĂ°u açýktĂ˝r.
Permütasyonda sýra önemlidir.

b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarýþmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kiþilik kümeler oluþturalým.Bu kümeler, A kümesinin 2 elemanlý alt kümeleridir.

A kĂĽmesinin ikili alt kĂĽmeleri

(kombinasyonlar)

{Burcu, Gizem}
{Burcu, Ecem}
{Gizem, Ecem}
A kümesinin 2 elemanlý alt kümelerinin (kombinasyonlarýnýn) sayýsý 3 tür. Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarýz. Ayrýca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin ayný olduðu açýktýr.
Kombinasyonda sýra önemli deðildir.


2. A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlý alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarýný yazalým.

Çözüm:
2 li alt kĂĽmeleri 2 li permĂĽtasyonlarĂ˝
(kombinasyonlarý) (sýralý ikililer)

{a,b} (a,b) (b,a)
{a,c} (a,c) (c,a)
{b,c} (b,c) (c,b)

Yukarýda gördüðünüz gibi, 3 elemanlý kümenin 2 li alt kümelerinin sayýsý,
C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonlarýn sayýsý p(3,2)=6 dýr.

Bunu, 2 ! . C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz.



Teorem: r n olmak üzere, n elemanlý sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarýnýn sayýsý,
C(n,r)= = dir.

ÝSPAT: n elemanlý bir kümenin, r elemanlý alt kümelerinin sayýsý C(n,r) dir. Bu alt kümelerin her birindeki elemanlarýn tüm sýralanýþlarýnýn (permütasyonlarýnýn) sayýsý da r! olduðundan r! . C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz. Buradan,

C(n,r)= = = bulunur.

Ă–RNEKLER:

1. A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarýnýn) sayýsýný bulalým.

Çözüm: A kümesinin 5 elemanlý olduðundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacaðýz.
1. YOL: C(5,3) bulunur.
2. YOL: C(5,3) bulunur.


2. 10 kiþilik bir sporcu grubundan, 5 kiþilik bir basketbol takýmý kaç farklý biçimde oluþturulabilir.

Çözüm: 10 kiþilik gruptan 5 kiþi seçerken sýra önemli deðildir. Örneðin, bu takýmýn {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olmasý farklý seçim olmaz. Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparýz. O halde, oluþturulacak 5 kiþilik gruplarýn sayýsý,
C(10,5) olur.

3. 2.C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtýr?

Çözüm: 2.C(n,2)=C(2n,1)


2
n.(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur. n=0 olmayacaðýndan n=3 tür.

4. Herhangi 3 tanesi doðrusal olmayan 6 noktadan kaç doðru geçer.

Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanýn sýrasý önemli deðildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri ayný doðruyu gösterir.). O halde, oluþacak doðru sayýsýný, kombinasyonla buluruz. Bu durumda, 6 noktadan,

doðru geçer.

5. 3 erkek ve 2 bayandan oluþacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasýndan kaç türlü seçilebilir?

Çözüm: 6 erkek arasýndan 3 erkeði C(6,3); 4 bayan arsýndan 2 bayaný da C(4,2) kadar farklý þekilde seçebiliriz.

Genel çarpma kuralýna göre bu seçimi;

tĂĽrlĂĽ yapabiliriz.

6. n kenarlý konveks bir çokgenin köþegen sayýsýnýn olduðunu gösterelim.
ÇözĂĽm: n kenarlĂ˝ bir çokgende n tane köþesi vardĂ˝r. Ăťki noktadan bir doĂ°ru geçtiĂ°inden, köþegen sayĂ˝sĂ˝nĂ˝ bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarĂ˝nĂ˝n sayĂ˝sĂ˝nĂ˝ bulmalĂ˝yĂ˝z. Ancak, komĂľu olan iki köþeden köþegen geçemeyeceĂ°inden(bunlar, çokgenin kenarlarĂ˝dĂ˝r.), C(n,2) den, kenar sayĂ˝sĂ˝ olan n çýkarĂ˝lĂ˝r. O halde, n kenarlĂ˝ çokgenin köþegen sayĂ˝sĂ˝;
bulunur.


Kombinasyonla ilgili bazý özellikler:

1.
2.
3.
4.
Bu eþitliklerin ispatýný, C(n,r) formülünden yararlanarak yapýnýz.



Ă–RNEKLER:


1. C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) iþlemini yapalým.

Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan
C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur.

2. toplamýný üstteki 4. özelliði kullanarak bulalým.

Çözüm: olur.



bulunur.

3. 5 farklý matematik ve 4 farklý Türkçe kitabýndan; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabýný, bir kitaplýðýn rafýna kaç türlü yerleþtirebiliriz?

Çözüm: 5 farklý matematik kitabý arasýndan; 3 matematik kitabý C(5,3) kadar farklý þekilde seçilebilir. 4 farklý Türkçe kitabýndan; 2 Türkçe kitabý da C(4,2) kadar farklý þekilde seçilebilir. Seçilen bu kitaplar,
C(
5,3) . C(4,2) . 5! = 10 . 6 . 120 = 7200 farklý sýralanabilir.