Haziran 27, 2019, 08:14:08 ÖÖ
Haberler:

De ki: O bilgi, ancak Allah'a mahsustur. Ben ise sadece apaçýk bir uyarýcýyým. (Mulk -25)

PermĂĽtasyon

Baţlatan MiM, Aralýk 20, 2008, 06:20:59 ÖS

« önceki - sonraki »

0 Üye ve 1 Ziyaretçi konuyu incelemekte.

MiM

Aralýk 20, 2008, 06:20:59 ÖS Last Edit: Aralýk 20, 2008, 06:26:45 ÖS by MiM
Permütasyon, birbirinden ayrýlabilir nesnelerin deðiþik sýralarda dizilmelerini ifade eden kavramdýr. Örneðin, 1'den 8'e kadar numaralanmýþ toplar için bir permütasyon "7, 1, 5, 6, 2, 8 , 4, 3" þeklindedir.

Matematikte permütasyon, her sembolün sadece bir kez ya da birkaç kez kullanýldýðý sýralý bir dizidir.


PermĂĽtasyonlarĂ˝n sayĂ˝lmasĂ˝ 


Eleman sayýsý n olan bir kümenin içinden r kadar eleman seçerek yapýlabilecek permütasyonlar aþaðýdaki formülle hesaplanýr:

                n!
P(n,r) = ---------
              (n-r)!

Örneðin n elemanlý bir küme için 1'den 10'a kadar olan doðal sayýlarý alalým. r'yi 4 olarak alýrsak, permütasyonlarýn sayýsý {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden sýrayý da gözetmek suretiyle oluþturulabilecek 4 deðiþik elemanlý kümelerin sayýsýný ifade eder.

Oluþturulacak küme sýralý olduðundan, 4 deðiþik elemanýn olasý seçilme þekillerini düþünüp, bu dörtlü dizilerin seçilme þekillerinin sayýsýný hesaplayabiliriz:

1.10 elemanlý kümeden seçebileceðimiz 10 tane eleman vardýr.
2.Bir eleman seçtikten sonra bir daha seçilemediðinden, ikinci elemaný seçerken elimizde 9 sayý kalýr. Her ilk seçilen 10 eleman için, 9 tane ikinci eleman seçme þansýmýz olduðundan ikinci elemaný 10 x 9 = 90 ayrý þekilde seçebiliriz.
3.Üçüncü elemaný 10 x 9 x 8 þekilde seçebiliriz.
4.Dördüncü elemaný 10 x 9 x 8 x 7 þekilde seçebiliriz.
Bunu genelleĂľtirip n ve r deĂ°iĂľkenleri ile ifade edersek:

1.Ýlk eleman için n adet seçenek vardýr.
2.Ýkinci eleman için n(n-1) adet seçenek vardýr.
3.r kadar eleman seçmek için n(n-1)(n-2)...(n-r+1) adet seçenek vardýr ki bu da yukarýda verilen formüle eþdeðerdir.

MiM

Taným : r ve n pozitif doðal sayýlar ve r < n olmak üzere , n elemanlý bir A kümesinin r elemanlý sýralý r� lilerine A kümesinin r� li permütasyonlarý denir.

n elemanlý A kümesinin r� li permütasyonlarýnýn sayýsý P (n,r) = n! /(n-r)! formülü ile bulunur.



Örnek: Farklý renkte 7 mendilin 3� ü, bir öðrenciye 1 mendil verilmek þartýyla 3 öðrenciye kaç farklý þekilde verilebilir?

Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayýsý 7 ' dir. n = 7 , üç mendil daðýtýlacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;

P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklý þekilde daðýtýlabilir.

UyarĂ˝ :

                               i.                                          i.                                          i.          n elemanlĂ˝ bir kĂĽmenin n�li permĂĽtasyonlarĂ˝nĂ˝n sayĂ˝sĂ˝,

Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!� dir.

ii. n elemanlý bir kümenin 1� li permütasyonlarýnýn sayýsý, P (n,1) = n�dir.

iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanýn kuralýyla da çözülebileceðine ; ancak, çarpma kuralýyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceðine dikkat ediniz.

Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sýralanacaktýr.

a.Bu 8 kiþi yan yana kaç farklý þekilde sýralanabilir?
b.Bu 8 kiþi bayanlar yan yana gelmek þartýyla kaç farklý þekilde sýralanabilir?
c.Bu 8 kiþi bayanlar yan yana gelmemek þartýyla kaç farklý þekilde sýralanabilir?
Çözüm :

a.8 Kiþi yan yana 8! farklý þekilde sýralanýr.
b.Bayanlar 1 kiþi gibi düþünülürse 6 kiþinin sýralanýþý söz konusu olur. 6 kiþi yan yana 6! farklý þekilde sýralanýr, ayrýca bayanlar kendi aralarýnda 3! farklý þekilde sýralanýr. Buna göre bu 8 kiþi bayanlar yan yana gelmek þartýyla 6!. 3! farklý þekilde sýralanabilir.
c.Mümkün olan bütün sýralanýþlarýn sayýsý 8! ve bayanlarýn 3�ünün yan yana geldiði sýralanýþlarýn sayýsý 6!. 3! Olduðu için bayanlarýn 3�ünün yan yana gelmediði sýralanýþlarýn sayýsý, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
Dönel (dairesel) sýralama :

Taným : n tane farklý elemanýndaire þeklinde bir yere sýralamasýna, n elemanýn dönel (dairesel) sýralamasý denir. Dairesel sýralamada en baþtaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanýn dönel (dairesel) sýralamalarýnýn sayýsý düz bir hatta sýralanmaya göre 1 eksik eleman alýnarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanýn dönel (dairesel) sýralamalarýnýn sayýsý (n-1)! olur.

Örnek: 7 kiþilik bir heyet bir masa etrafýnda oturacaktýr.

a.Bu heyet yuvarlak bir masa etrafýnda kaç farklý þekilde oturabilir?
b.Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklý þekilde oturabilir?
c.Heyet baþkaný ve yardýmcýsý yan yana gelmek þartýyla yuvarlak bir masa etrafýnda kaç farklý þekilde oturabilirler?
Çözüm :

a.7 kiþi yuvarlak masa etrafýnda (7-1)! = 6! farklý þekilde oturabilir.
b.Bu heyet düz bir masa etrafýnda 7! farklý þekilde oturabilir.
c.Baþkan ve yardýmcýsýný bir kiþi gibi düþünelim. Bu durumda 6 kiþinin yuvarlak masa etrafýnda oturmasý sözkonusu olur. 6 kiþi yuvarlak masa etrafýnda (6-1)! = 5! farklý þekilde oturabilir. Ayrýca baþkan ve yardýmcý aralarýnda 2! deðiþik þekilde oturabilir. Buna göre heyet, baþkan ve yardýmcý yan yana gelmek þartýyla, 5!. 2! farklý þekilde oturabilir.
TekrarlĂ˝ permĂĽtasyonlar :

Taným : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeþitten, n2 tanesi 2. çeþitten, ......., nr tanesi de r. çeþitten olsun.

n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n�li permütasyonlarýnýn sayýsý,

(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr � dir.

Örnek: � BABACAN� sözcüðünün harfleriyle 7 harfli anlamlý ya da anlamsýz kaç farklý kelime yazýlabilir?

Çözüm : 2 tane B harfi olduðu için n1 = 2

3 tane A harfi olduðu için n2 = 3,

1 tane C harfi olduðu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduðu için

n4 = 1 olsun. Buna göre farklý sözcüklerin sayýsý,

(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 � dir.



MiM

Aralýk 20, 2008, 06:41:19 ÖS #2 Last Edit: Aralýk 20, 2008, 06:48:38 ÖS by MiM

PERMÜTASYON VÝDEOLU ANLATIM ÝÇÝN:



TýKLayýNýZ