Haziran 25, 2019, 12:09:58 ÍS
Haberler:

O kimseler, namaz├Ż k├Żlarlar, zek├ót├Ż verirler; onlar ahirete de kesin olarak iman ederler. (Lokman -4)

├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN FONKS├ŁYONLAR

Ba■latan MiM, Aralřk 20, 2008, 05:54:40 ÍS

« ÷nceki - sonraki »

0 ▄ye ve 1 Ziyaretši konuyu incelemekte.

MiM

Aralřk 20, 2008, 05:54:40 ÍS Last Edit: Aralřk 20, 2008, 06:01:57 ÍS by MiM
├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN FONKS├ŁYONLAR



Tan├Żm : a, b, c,  R ve a  0 olmak ├╝zere;

y = ax2 + bx + c

bi├žiminde tan├Żmlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x de├░i├żkeni R (ger├žek say├Żlar k├╝mesi) den se├žilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.

B├Âyle bir fonksiyon;

bi├žimlerinden biri ile g├Âsterilir.

├ľRNEKLER:

1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 e├żitli├░i ile tan├Żmlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 3 , b = - 2 ve c = 4 t├╝r.

2. f: RR , f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 9 , b = 0 ve c = -2 dir.

├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN B├ŁR FONKS├ŁYONUN GRAF├Ł├É├Ł


y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafi├░ine (e├░risine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabol├╝ analitik d├╝zlemde g├Âsterebilmek (├žizebilmek) i├žin yap├Żlmas├Ż gereken i├żlemleri a├ża├░├Żdaki gibi s├Żralayabiliriz.

1. Tepe noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż bulunur.
2. Grafi├░in varsa, koordinat eksenlerini kesti├░i noktalar bulunur.
3. De├░i├żim tablosu d├╝zenlenir.
4. De├░i├żim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik d├╝zlemde i├żaretlenir ve grafik ├žizilir.

TEPE NOKTASININ KOORD├ŁNATLARINI BULMA

├Łkinci dereceden bir fonksiyonun grafi├░inin (parabol├╝n) tepe noktas├Żn├Ż tan├Żmlamadan ├Ânce a├ża├░├Żdaki ├Ârne├░i inceleyelim.

├ľRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.

y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
x = -2 i├žin, y = (-2)2 = 4 oldu├░undan, grafik (-2, 4) noktas├Żndan,
x = -1 i├žin, y = (-1)2 = 1 oldu├░undan, grafik (-1, 1) noktas├Żndan,
x = 0 i├žin, y = (0)2 = 0 oldu├░undan, grafik (0, 0) noktas├Żndan,
x = 1 i├žin, y = 12 = 1 oldu├░undan, grafik (1, 1) noktas├Żndan,
x = 2 i├žin, y = 22 = 4 oldu├░undan, grafik (2, 4) noktas├Żndan
ge├žer.

Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun de├░i├żim tablosunu d├╝zenleyelim.



x ger├žek say├Żlar├Ż (-) dan s├Żf├Żra kadar artan de├░erler ald├Ż├░├Żnda, y = x2 fonksiyonu (+) dan s├Żf├Żra kadar azal├Żr.

x s├Żf├Żrdan (+) a do├░ru artmaya devam etti├░inde, y = x2 fonksiyonu da s├Żf├Żrdan (+) a artarak gider.

Grafi├░in d├Ând├╝├░├╝ nokta, (0, 0) noktas├Żd├Żr. Bu nokta, y = x2 parabol├╝n├╝n tepe noktas├Ż d├Żr.


y = x2 fonksiyonunun grafi├░i a├ża├░├Żdaki gibidir.



y = x2 nin de├░i├żim tablosunu incelerseniz, x  1 i├žin y = 1 ve x =  2 i├žin y = 4 oldu├░unu g├Âr├╝rs├╝n├╝z. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktalar├Ż 0y eksenine g├Âre simetrik noktalard├Żr.

O halde, 0y ekseni (x = 0 do├░rusu), y = x2 fonksiyonunun grafi├░inin, simetri eksenidir.

fonksiyonlar├Żn├Żn grafikleri a├ża├░├Żda ├žizilmi├żtir, inceleyiniz.


y = ax2 parabol├╝nde;
• a 0 ise, parabol├╝n kollar├Ż yukar├Ż do├░ru,
• a 0 ise, parabol├╝n kollar├Ż a├ża├░├Ż do├░ru,
• a mutlak de├░erce b├╝y├╝d├╝k├že, parabol├╝n kollar├Ż y eksenine yakla├ż├Żr.
• a mutlak de├░erce k├╝├ž├╝ld├╝k├že, parabol├╝n kollar├Ż y ekseninden uzakla├ż├Żr.
• x = 0 do├░rusu (0y ekseni), parabol├╝n simetri eksenidir.

├×imdi de, y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafi├░in, tepe noktas├Żn├Żn bile├żenlerini bulal├Żm.

y = ax2 + bx + c fonksiyonu,
(Bu e├żitli├░i daha ├Ânceki b├Âl├╝mlerde g├Âstermi├żtik)
bi├žiminde yaz├Żlabilir. Bu e├żitlikte, d├Żr.

a 0 ise, ifadesi en k├╝├ž├╝k s├Żf├Żr de├░erini alabilir. Buna g├Âre; de├░erine, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en k├╝├ž├╝k de├░eri ya da minimumu denir.

a 0 ise, ifadesi en b├╝y├╝k, s├Żf├Żr de├░erini alabilir. Buna g├Âre; de├░erine, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en b├╝y├╝k de├░eri ya da maksimumu denir.

(I) e├żitli├░inde, al├Żn├Żrsa, bu ifade y = a(x – r)2 + k bi├žimine d├Ân├╝├ż├╝r.

O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafi├░inin apsisi ; r = , ordinat├Ż, olan noktas├Żna, parabol├╝n tepe noktas├Ż denir.

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafi├░inin tepe noktas├Ż;


├ľRNEKLER

1. y = 2x2 – x + 1 fonksiyonunun grafi├░inin, tepe noktas├Żn├Żn bile├żenlerini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda; a = 2, b = -1 ve c

O halde, tepe noktas├Ż, dir.

2. y = 6x2 fonksiyonunun grafi├░inin, tepe noktas├Żn├Żn bile├żenlerini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda a = 6 , b = 0 ve c = 1 dir.

O halde tepe noktas├Ż, T(0, 0) d├Żr.

3. y = 2x2 + 4 fonksiyonunun grafi├░inin, tepe noktas├Żn├Żn bile├żenlerini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda, a = 2, b = 0 ve c = 4 t├╝r.

O halde tepe noktas├Ż, T(0,4) t├╝r.

Fonksiyonlar, a├ża├░├Żdaki bi├žimde verildi├░inde, tepe noktas├Żn├Ż bulmak i├žin, i├żlem yapmaya gerek yoktur.

1. y = ax2 parabol├╝n├╝n tepe noktas├Ż, T(0, 0) d├Żr.
2. y = ax2 + c parabol├╝n├╝n tepe noktas├Ż, T(0. c) dir.
3. y = a(x – r)2 parabol├╝n├╝n tepe noktas├Ż, T(r. 0) d├Żr.
4. y = a(x – r)2 + k parabol├╝n├╝n tepe noktas├Ż, T(r. K) d├Żr


MiM

├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN B├ŁR FONKS├ŁYONUN G├ľSTERD├Ł├É├Ł E├ÉR├ŁN├ŁN EKSENLER├Ł KEST├Ł├É├Ł NOKTALARI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun g├Âsterdi├░i e├░rinin (parabol├╝n), eksenleri kesti├░i noktalar├Ż bulal├Żm.

Parabol├╝n y eksenini kesti├░i noktan├Żn apsisi s├Żf├Żr olaca├░├Żndan, x = 0 al├Żn├Żrsa,
y = a.02 + b.0 + c = c olur.

O halde, parabol├╝n y eksenini kesti├░i nokta (0. c) noktas├Żd├Żr.

Parabol├╝n x eksenini kesti├░i noktalar├Żn ordinatlar├Ż s├Żf├Żr olaca├░├Żndan, y = 0 al├Żn├Żrsa,
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.

Bu denklemin k├Âkleri x1 ve x2 ise parabol├╝n x eksenini kesti├░i noktalar;(x1,0) ve(x2,0) olur.

├ľRNEKLER

1. y = x2 – 4 parabol├╝n eksenleri kesti├░i noktalar├Ż bulal├Żm.

x = 0 i├žin, y = 02 – 4 = -4
O halde, parabol├╝n y eksenini kesti├░i nokta (0, -4) t├╝r.
y = 0 i├žin, 0 = x2 – 4  x2 = 4  x1 = -2 v x2 = 2
O halde, parabol├╝n x eksenini kesti├░i noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) d├Żr.

2. y = 2x2 + 8 parabol├╝n├╝n varsa, eksenleri kesti├░i noktalar├Ż bulal├Żm.

x = 0 i├žin, y = 2.02 + 8 = 8 oldu├░undan, y eksenini kesti├░i nokta (0. 8) dir.
y = 0 i├žin, 0 = 2x2 + 8  2x2 = -8  x2 = - 4 ger├žek k├Âk yoktur.
O halde, parabol├╝n x eksenini kesti├░i noktas├Ż yoktur.

3. y = x2 – 3x + 2 parabol├╝n├╝n eksenlerini kesti├░i noktalar├Ż bulal├Żm.

x=0 i├žin, y=02–3.0 + 2 = 2 oldu├░undan, parabol├╝n y eksenini kesti├░i nokta (0, 2) dir.
y = 0 i├žin, x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0  x1 = 2 v x2 = 1 oldu├░undan, parabol├╝n x eksenini kesti├░i noktalar, (2, 0) ile (1, 0) d├Żr.

4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kesti├░i noktalar├Ż bulal├Żm.

x = 0 i├žin, y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 oldu├░undan, parabol├╝n,
y eksenini kesti├░i nokta (0. –3) t├╝r.
y = 0 i├žin, (x – 1)2 – 4 = 0  (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
 x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1

O halde, grafi├░in x eksenini kesti├░i noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) d├Żr.

y = ax2 + bx + c FONKS├ŁYONUNUN GRAF├Ł├É├Ł

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, bi├žimine d├Ân├╝├żt├╝r├╝lebildi├░ini ve tepe noktas├Żn├Żn, oldu├░unu g├Âstermi├żtik.

Ayr├Żca, bu fonksiyonun x eksenini; (x1 , 0) ve (x2 , 0) noktalar├Żnda y eksenini de (0, c) noktas├Żnda kesti├░ini bulmu├żtuk.

Elde etti├░imiz bu bilgilere g├Âre, fonksiyonun de├░i├żim tablosunu d├╝zenleyelim.



Tablodan da g├Âr├╝ld├╝├░├╝ gibi, x de├░i├żkeni (-) dan ya kadar artan de├░erler ald├Ż├░├Żnda, ifadesi (+) dan s├Żf├Żra do├░ru azalaca├░├Żndan, y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azal├Żr.

x de├░i├żkeni dan (+) a do├░ru artan de├░erler ald├Ż├░├Żnda, y fonksiyonu da dan (+) a do├░ru artar.

Bu nedenle, y = ax2 + bx + c nin grafi├░i a├ża├░├Żdaki gibi ├žizilir.



Tablodan g├Âr├╝ld├╝├░├╝ gibi, x de├░i├żkeni (-) dan ya kadar artan de├░erler ald├Ż├░├Żnda, ifadesi (+) dan s├Żf├Żra do├░ru azalaca├░├Żndan y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x de├░i├żkeni dan (+) a kadar artan de├░erler ald├Ż├░├Żnda, y fonksiyonu da dan (-) do├░ru azal├Żr.

O halde, y = ax2 + bx + c nin grafi├░i a├ża├░├Żdaki gibidir

MiM

├ľRNEKLER



1. y = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.


Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -4 ve c = 3 t├╝r.
Tepe noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż;
oldu├░undan, tepe noktas├Ż T(2, -1) dir.
Eksenleri kesti├░i noktalar├Żn koordinatlar├Żn├Ż bulal├Żm.
x = 0 i├žin, y = 02 – 4.0 + 3 = 3  y eksenini kesti├░i nokta (0, 3) olur.
y = 0 i├žin, x2 – 4x + 3 = 0 denkleminin k├Âkleri x1 = 3, x2 = 1 oldu├░undan, x eksenini kesti├░i noktalar, (1, 0) ve (3, 0) bulunur.



Elde etti├░imiz bilgilerden yararlan├Żp de├░i├żim tablosu yaparak grafi├░i ├žizelim.



2. y = -x2 + x + 2 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.


Verilen fonksiyonda a = -1, b = 1 ve c = 2 dir.
Tepe noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż;
oldu├░undan, tepe noktas├Ż olur.

x = 0 i├žin, y = 2 dir. O halde, y eksenini kesen nokta (0, 2) dir.
y = 0 i├žin, -x2 + x + 2 = 0  x2 – x – 2 = 0  (x – 2) (x + 1) = 0
 x1 = 2 v x2 = -1 dir.

O halde, x eksenini kesti├░i noktalar; (2, 0) ve (-1, 0) d├Żr.


De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.



3. y = x2 – 4 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.

1. YOL: Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 0 ve c = -4 t├╝r.
Tepe noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż;
oldu├░undan, tepe noktas├Ż T(0. 4) olur.

x = 0 i├žin, y = -4 oldu├░undan grafik, y eksenini (0, -4) noktas├Żnda keser.
y = 0 i├žin, x2 – 4 = 0  x2 = 4  x1 = 2 v x2 = -2 oldu├░undan, grafik x eksenini (-2, 0) noktalar├Żnda keser.



De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.


y = ax2 + c bi├žiminde ifade edilen fonksiyonlar├Żn grafiklerinin tepe noktas├Ż T(0, c) dir. Bu nokta y ekseni ├╝zerinde i├żaretlenerek a > 0 ise grafi├░in kollar├Ż yukar├Ż do├░ru, a < 0 ise, kollar a├ża├░├Ż do├░ru ├žizilir.



2. YOL: Yukar├Żdaki a├ž├Żklamaya g├Âre y = x2 – 4 fonksiyonunun grafi├░inin tepe noktas, T(0, -4) t├╝r. a = 1 > 0 oldu├░undan, grafik yandaki gibidir.



4. y = x2 – 2x fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -2 ve c = 0 d├Żr.
Tepe noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż;
oldu├░undan, tepe noktas├Ż T(1. -1) dir.

x = 0 i├žin, y = 02 – 2.0 = 0  Grafik y eksenini (0. 0) noktas├Żnda keser.
y = 0 i├žin, x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0 x1 = 0 v x2 = 2
Grafik, x eksenini (0, 0) ve (2, 0) noktalar├Żnda keser.
De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.



y = ax2 + bx + c parabol├╝nde c = 0 ise, grafik orijinden ge├žer.


5. y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.


y = a(x – r)2 + k bi├žiminde ifade edilen fonksiyonlar├Żn grafiklerinin tepe noktas├Ż, T(r. k) idi.
O halde; y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun tepe noktas├Ż; T(1, -8) dir.
x = 0 i├žin, y = 2(0 – 1)2 – 8 = -6 ise, grafik y eksenini (0, 6) noktas├Żnda keser.
x1 = -1
y = 0 i├žin, 2(x – 1)2 – 8 = 0  2(x – 1)2 = 8  x – 1 = 2
x2 = 3
Grafik x eksenini, (-1, 0) ve (3, 0) noktalar├Żnda keser.

De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.




6. y = x2 +2x-1 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.

Verilen fonksiyonda, a = x-1 , b = 2 ve c = -1 dir.

Tepe noktas├Ż, T(1, 0) d├Żr.
x = 0 i├žin, y = -1 ise, grafik y ekseni (0, -1) de keser.
y = 0 i├žin, x2 + 2x-1 = 0 (x-1)2 = 0 x1 = x2 = 1


Grafik, ├ż eksenine (1, 0)noktas├Żnda te├░ettir. Ni├žin?



De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.




y = 0 ax2 + bx + c parabol├╝mde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin e├żit iki k├Âk├╝ varsa yani,  = 0 ise, parabol tepe noktas├Żnda ├ż eksenine te├░ettir.

a<0 ise; a>0 ise;



7. y = x2-2x + 5 fonksiyonunun grafi├░ini ├žizelim.



verilen denklemde, a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Tepe noktas├Ż T (1, 4) t├╝r.

x = 0 i├žin, y = 5 ise, grafik y ekseni (0, 5) noktas├Żnda keser.
y = 0 i├žin, x2-2├ż + 5 0  = 4 - 4.5 = -16<0 ger├žek k├Âk yoktur. Grafik x eksenini kesmez.


De├░i├żim tablosunu d├╝zenleyip parabol├╝ ├žizelim.



y = ax2 + bx + c parabol├╝nde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin k├Âkleri yoksa, yani <0 ise, grafik x eksenini kesmez.

a>0 ise; a<0 ise;



8. Yanda grafi├░i verilen,
y = mx2 + x +2 fonksiyonu,
P(2, 1) noktas├Żndan ge├žiyor
ise, m'yi bulal├Żm.


P noktas├Żn├Żn koordinatlar├Ż, verilen fonksiyon denklemini sa├░lar. Yani,
y = -mx2 + x + 2
1 = m . 22 + 2 + 2 4m = 3 bulunur.

MiM

├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN B├ŁR FONKS├ŁYONUN G├ľR├ťNT├ť K├ťMES├ŁN├ŁN
EN B├ťY├ťK VEYA EN K├ť├ç├ťK ELEMANINI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafi├░ini ├žizmi├żtik. ├×imdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en k├╝├ž├╝k veya en b├╝y├╝k eleman├Żn├Ż bulal├Żm.

a>0 ise;


Grafikte g├Âr├╝ld├╝├░├╝ gibi, x de├░i├żkeni ya kadar artarken, y fonksiyonu dan ya kadar azalmaktad├Żr. x de├░i├żkeni, do├░ru artmaya devam ederken, y fonksiyonu da a do├░ru artmaktad├Żr. Yani, y'nin en k├╝├ž├╝k de├░erini, olarak ald├Ż├░├Ż grafikte a├ž├Żk olarak g├Âr├╝lmektedir.

Bu de├░ere, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en k├╝├ž├╝k (minimum) de├░eri denir.

a>0 olmak ├╝zere, y = a2 + bx + c fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en k├╝├ž├╝k de├░eri, tepe noktas├Żn├Żn ordinat├Żd├Żr.

Yani, d├Żr. En b├╝y├╝k de├░eri yoktur.

a<0 ise;


Grafi├░e dikkat edilirse x de├░i├żkeni (-) dan ya kadar artarken, y fonksiyonu (-) dan ya kadar artmaktad├Żr. x de├░i├żkeni, dan (+) do├░ru artmaya devam ederken, y fonksiyonu dan (-) a do├░ru azalmaktad├Żr. Yani y nin en b├╝y├╝k de├░erini, olarak ald├Ż├░├Ż, grafikte a├ž├Żk olarak g├Âr├╝lmektedir. Bu de├░ere, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en b├╝y├╝k (maksimum) de├░eri denir.

O halde; a < 0 olmak ├╝zere, y = ax2 + bx + c fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en b├╝y├╝k de├░eri, tepe noktas├Żn├Żn ordinat├Żd├Żr.

Yani, k = d├Żr. En k├╝├ž├╝k de├░eri yoktur.

├ľRNEKLER


1. y = 2x2 + x – 2 fonksiyonunun, g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en k├╝├ž├╝k de├░erini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda a = 2 , b = 1 , c = - 2 dir.
a = 2 > 0 oldu├░undan, fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesini en k├╝├ž├╝k de├░eri, k= d├Żr.
K = olur.

2. y = -x2 + 4x + 2 fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin, en b├╝y├╝k de├░erini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 4 ve c = 2 dir.
a = -1 < 0 oldu├░undan, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en b├╝y├╝k de├░eri, d├Żr.
olur.

3. f(x) = -4x2 + 2x + 1 – 2m fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin, en b├╝y├╝k de├░eri 4 ise, m yi bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda, a = -4 , b = 2 ve c = 1-2m dir.
a = -4 < 0 oldu├░undan, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin en b├╝y├╝k de├░eri k d├Żr. O halde, k = 4 olmal├Żd├Żr.

k = 4  = 4 
 -16 + 32m – 4 = -64
 32m = -44  m = - olur.

4. y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin, en b├╝y├╝k de├░erini bulal├Żm.

a = -2 < 0 oldu├░undan, fonksiyonun g├Âr├╝nt├╝ k├╝mesinin, en b├╝y├╝k de├░eri k d├Żr.
y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunda k = 5 oldu├░undan, istenilen de├░er 5 olur.

├ŁK├ŁNC├Ł DERECEDEN B├ŁR FONKS├ŁYONUN TEMS├ŁL ETT├Ł├É├Ł PARABOL├ťN S├ŁMETR├Ł EKSEN├ŁN├Ł BULMA


y = ax2 parabol├╝n├╝n simetri ekseninin, x = 0 do├░rusu oldu├░unu g├Ârm├╝├żt├╝k.
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, y = bi├žiminde yaz├Żlabildi├░ini daha ├Ânce g├Âstermi├żtik. Burada, diyelim ve x1 de├░erini bu e├żitlikle yerine yazal├Żm.
elde edilir.


Yukar├Żdaki grafi├░e dikkat ederseniz, bu grafi├░in kollar├Żn├Żn, x = do├░rusuna g├Âre simetrik oldu├░unu g├Âr├╝rs├╝n├╝z. ├Ł├żte bu, x = do├░rusuna, y = ax2 + bx + c parabol├╝n├╝n S├ŁMETR├Ł EKSEN├Ł denir.

├ľRNEKLER

1. y = 2x2 – 4x + 3 parabol├╝n├╝n simetri eksenini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda, a = 2 , b = -4 olup x = dir.
O halde, x = 1 do├░rusu simetri eksenidir.

2. y = 4x2 – 3 parabol├╝n├╝n simetri eksenini bulal├Żm.

Verilen fonksiyonda, a = 4 , b = 0 olup x = d├Żr.
O halde, x = 0 do├░rusu (y ekseni) simetri eksenidir.

• y = ax2 ve y = ax2 + c parabollerinin simetri eksenleri, x = 0 do├░rusu, yani, y eksenidir.
• y = a(x-r)2 ve y = a(x-r)2 + k parabollerinin simetri eksenleri, x = r do├░rusudur.

3. y = (3m – 1)x2 – 4mx + 1 parabol├╝n├╝n simetri ekseni, x = 3 do├░rusu ise, m ka├žt├Żr?

Verilen fonksiyonda, a = 3m – 1 ve b = -4m dir.
Simetri ekseni x = 3 do├░rusu ise;
bulunur

MiM

EKSENLER├Ł KEST├Ł├É├Ł NOKTALARIN KOORD├ŁNATLARI VER├ŁLEN B├ŁR PARABOL├ťN DENKLEM├ŁN├Ł BULMA

x eksenini (p, 0) ve (q, 0), y ekseninide (0, n) noktas├Żnda kesen parabol├╝n denklemini bulal├Żm.


x eksenini kesen noktalar├Żn apsisi, arad├Ż├░├Żm├Żz denklemin k├Âkleridir. O halde, k├Âkleri bilinen 2. dereceden denklemin yaz├Żl├Ż├ż├Żn├Ż hat├Żrlarsak bu denklem;

a[x2 – (x1 + x2).x + (x1.x2)] = 0 bi├žiminde idi. Dolay├Żs├Żyla, arad├Ż├░├Żm├Żz parabol├╝n denklemi;
y = a[x2 – (p + q) x + p.q] olur. (1)

Ayr├Żca grafik, (0, n) noktas├Żndan ge├žti├░i i├žin, buldu├░umuz (1) e├żitli├░ini sa├░lar. Yani, x = 0 al├Żn├Żrsa y = n olur. Bu de├░erleri yerine yazarsak, a y├Ż bulur ve parabol├╝n denklemi olan y = ax2 + bx + c yi elde ederiz.

2. YOL: Arad├Ż├░├Żm├Żz denklem, y = ax2 + bx + c dir. Bu denklem, grafi├░in ├╝zerindeki ├╝├ž noktay├Ż da sa├░layaca├░├Żndan, bu noktalar├Żn bile├żenleri yerine yaz├Żlarak, 3 denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak ├ž├Âz├╝m├╝ ile a, b, c bulunur ve yerine yaz├Żl├Żrsa, istenilen denklem bulunmu├ż olur.


GRAF├Ł├É├ŁN├ŁN TEPE NOKTASI ├ŁLE HERHANG├Ł B├ŁR NOKTASININ KOORD├ŁNATLARI VER├ŁLD├Ł├É├ŁNDE PARABOL├ťN DENKLEM├ŁN├Ł BULMA

Tepe noktas├Ż T(r, k) olan ve y eksenini (0, n) noktas├Żnda kesen parabol├╝n denklemini bulal├Żm.


Grafi├░inin tepe noktas├Ż T(r, k) olan ikinci dereceden y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, y = a(x – r)2 + k bi├žiminde yaz├Żlabildi├░ini ├Â├░renmi├żtik. Ayr├Żca grafik (0, n) noktas├Żndan ge├žti├░i i├žin, bu nokta, y = a(x – r)2 + k denklemini sa├░lar. Yani, x = 0 i├žin, y = n al├Żnarak a de├░eri bulunabilir.

├ľRNEKLER



1. A├ża├░├Żda grafi├░i verilen parabol├╝n denklemini bulal├Żm.



Parabol├╝n tepe noktas├Ż olan, T(2, -2) , y = a(x – r)2 + k ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y = a(x – r)2 + k (r = 2, k = -2 yazal├Żm.)
y = a(x – r)2 – 2 bulunur. (I)

Ayr├Żca grafik (0, 3) noktas├Żndan ge├žti├░i i├žin, bu nokta (I) ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y = a(x – 2)2 – 2 (x = 0, y = 3 yazal├Żm)
3 = a(0 –2)2 – 2  3 = 4a – 2  a = O halde arad├Ż├░├Żm├Żz. Denklem;
t├╝r.

2. A├ża├░├Żda, grafi├░i verilen parabol├╝n denklemini bulal├Żm.



Tepe noktas├Ż olan T(-1, 2), y=a(x – r)2 + k ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y = a(x – r)2 + k (r = -1, k = 2 yazal├Żm)
y = a(x + 1)2 + 2 bulunur. (I)
Ayr├Żca grafik, (0, 0) noktas├Żndan ge├žti├░i i├žin, bu nokta (I) ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y =a(x + 1)2 + 2 (x = 0, y = 0 yazal├Żm)
0 = a(0 + 1)2 + 2  0 = a + 2  a = -2 bulunur. O halde, aran├Żlan denklem;
y = -2(x + 1)2 + 2 dir.

3. A├ża├░├Żda grafi├░i verilmi├ż olan parabol├╝n denklemini bulal├Żm.



Tepe noktas├Ż olan T(1, 0), y = a(x – 1)2 + k ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y = a(x – r)2 + k (r = 1, k = 0 yazal├Żm)
y = a(x – r)2 + 0 bulunur. (I)
Ayr├Żca grafik, (0, 2) noktas├Żndan ge├žti├░i i├žin, bu nokta (I) ba├░├Żnt├Żs├Żn├Ż sa├░lar.
y = a(x – r)2 (x = 0, y = 2 yazal├Żm)
2 = a(0 – 1)2  a = 2 bulunur. O halde, arad├Ż├░├Żm├Żz denklem; y = 2(x – 1)2 dir.

y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafi├░i x eksenine te├░et ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskirminant├Ż s├Żf├Żrd├Żr.


├ľRNEKLER


1. y = x2 – (m – 2)x + 4 parabol├╝ x eksenine te├░et ise, m de├░erlerini bulal├Żm.

Verilen parabol x eksenine te├░et oldu├░undan,
x2 – (m – 2)x + 4 = 0 denkleminde =0 d├Żr.
= b2 – 4ac = [-(m – 2)]2 – 4 . 1 . 4 = m2 – 4m + 4 – 16 = m2 – 4m – 12
= 0  m2 – 4m – 12 = 0  m1 = 6 v m2= -2 dir.

2. y = mx2 + (2m – 1)x + m + 2 parabol├╝n├╝n x eksenine te├░et olmas├Ż i├žin, m ka├ž olmal├Żd├Żr?

mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 denkleminde = 0 olmal├Żd├Żr.
= (2m –1)2 – 4m(m + 2) = 4m2 – 4m – 4m + 1 –4m2 – 8m
= -12m + 1
= 0  -12m + 1 = 0  m = bulunur

adrenokortikotropik

ya hu bu matematik deh├żet├╝lvah├żet bir├żey
yani insan ├╝st├╝.
Rab'den gelme bilim. :) 8)

SimurG

Alřntř yapřlan: adrenokortikotropik - Temmuz 03, 2009, 08:26:30 ÍS
ya hu bu matematik deh├żet├╝lvah├żet bir├żey
yani insan ├╝st├╝.
Rab'den gelme bilim. :) 8)



├ľyLe de├░iL mi? :)

Bug├╝n biLimde bir ├žok geLi├żmeyi matemati├░e bor├žLuyuz. BiLimde bir teorinin ger├žekten biLimseL oLmas├Żn├Ż beLirLeyen ├ÂL├ž├╝tLerden biri matematik kuLLan├Żm├Żd├Żr. Matematikteki ahenk veya d├╝zen kimi zaman baz├Ż fiLozoflara, biLim adamLar├Żna bir resmin renk ahengini, bir m├╝zi├░in duruLu├░unu an├Żmsat├Żr. Kimisi bunun kar├ż├Żs├Żnda hayranL├Ż├░├Żn├Ż, sevin├ž ve heyecan├Żn├Ż gizLeyemez. RusseLL'in dedi├░i gibi : "Matematik sadece do├░ruyu s├Âylemekle kalmaz ayn├Ż zamanda onun g├╝zelli├░ini de ortaya ├ž├Żkart├Żr"

Kumsaati

M├ŁM hocam bu nas├Żl bir sunumdur
vallahi Helal olsun hocam


konunun yorumuna gelince;
Birg├╝n anlayacam in├żallah bu konular├Ż ;D
asl├Żnda matemati├░i ├žok severim say├Żsald├Żm ama liseyi b├Żrak├Żnca bunlarada yabanc├Ż kald├Żk i├żte
in├żallah tekrar d├Ân├╝├ż yap├Żyoruz bakal├Żm