Haziran 26, 2019, 10:02:36 S
Haberler:

Andolsun ki biz, (dünyaya) en yakýn olan göðü kandillerle donattýk. Bunlarý þeytanlara atýþ taneleri yaptýk ve onlara alevli ateþ azabýný hazýrladýk. (Mulk -5)

birinci ve ikinci dereceden eþitsizlikler

Balatan MiM, Aralk 14, 2008, 12:09:16 S

« nceki - sonraki »

0 ye ve 1 Ziyareti konuyu incelemekte.

Aa git

MiM

( # ) Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b bir sayý ve a sýfýrdan farklý olmak üzere,

ax + b = 0 birinci dereceden denklemdir.

Not: Birinci dereceden denklemi çözmek için x'i yalnýz býrakýp eþitliðin diðer tarafýndaki sayýya bölmek gerekir.

Not: Eþitliðin her iki tarafýnda da x deðeri varsa eðer; x'li olan deðerler bir tarafa, tam sayýlar ise bir tarafa toplanarak iþlem yapýlýr.

Örnek: 5x - 6 = 2x + 6 denkleminde x kaçtýr.

5x - 2x = 6 + 6 ( x'li ifadeleri bir tarafa tam sayýlý ifadeleri bir tarafa topladýk)
3x = 12
x = 4 olarak bulunur.

Örnekleri Çoðaltabilirsiniz.

Not: Denklemimizde kesirli ifade varsa eðer, önce kesirden kurtarmamýz gerekir. Kurtardýktan sonra denklemi çözebiliriz.

Örnek: 1/4 ( x - 1 ) = 2 denkleminde x kaçtýr.

4.1/4 ( x - 1 ) = 2.4 ( Kesirden kurtarmak için eþitliðin her iki tarafýný da payda ile çarptýk. )
( x - 1 ) = 8 ( Denklemi çözebiliriz. )
x = 9


( # ) Ýkinci Dereceden Denklemler

a, b, c sayý olmak üzere ax² + bx + c = 0 þeklindeki ifade 2. dereceden denklemdir.

Örnek: x² + x - 6 ifadesinde a:1 b:1 c:-6'dýr.



( # ) Kökleri Bilinen 2. Dereceden Denklemi Bulma

Kökleri a ve b olan 2.dereceden denklem ( x - a )( x - b ) = 0 þeklinde gösterilir. Buradan yola çýkarak formülü yazacak olursak ( x - 1.Kök )( x - 2.Kök ) = 0 olarak ifade edebiliriz.

Örnek: Kökleri 4 ve 6 olan 2.dereceden denklemi yazalým;

( x - 4 )( x - 6 ) = 0
x² - 6x - 4x + 24 = 0

Örnekleri çoðaltabilirsiniz.

( # ) Kökleri Bilinen 2. Dereceden Denklemi Bulma

x4 - 3x² - 4 = 0 denklemi üzerinden gidecek olursak,
Öncelikle kolaylýk olmasý için x²'ye "t" diyelim. Bu, soruyu çözerken kolaylýk saðlayacaktýr.

x4 - 3x² - 4 = 0
t² - 3t - 4 = 0 olarak yazýlýr ve gerekli iþlemler yapýlýp t deðeri bulunur.


( # ) Eþitsizlikler

Not: << veya >> sembolleri hem büyük/küçük hem de eþit anlamý taþýmaktadýr. Karýþtýrmayýnýz.

a, b £ R ve a sýfýrdan baþka bir sayý olmak üzere ax + b > 0 veya ax + b < 0 ( ax + b >> 0 veya ax + b << 0 ) þeklindeki ifadelere 1. dereceden eþitsizlik diyoruz.

Not: ">> veya <<" olan tarafta parantez köþelidir "[ ]" ama "> veya <" var ise parantez normaldir. " ( ) "

Not: Eþitsizlik konusunu denklemler ile hemen hemen aynýdýr.

Not: Bir eþitsizlik negatif sayý ile çarpýlýr veya bölünürse iþaret yön deðiþtirir.

Örnek: 5x - 4 < 4x - 4 eþitsizliðinde x kaçtýr.

5x - 4x < -4 + 4
x < 0 olarak çözeriz.
( - sonsuz, 0 )

Örnek: 3x + 5 >> 5x - 11 eþitsizliðinde x kaçtýr.

3x - 5x >> - 11 - 5
- 2x >> - 16
x << 8 ( "-" ile bölündüðünden dolayý iþaret deðiþti. )
( - sonsuz, 8 ]

Örnek: - 3 << 6x - 15 << 3 eþitsizliðini çözecek olursak.

- 3 << 6x - 15 << 3
-3 + 15 << 6x << 3 + 15
12 << 6x << 18
2 << x << 3 ( 2 ile 3 arasýndaki sayýlardýr.) [2, 3]

Örnekleri çoðaltabilirsiniz.



( # ) Ýkinci Dereceden Eþitsizlikler

Örnek: x² - 3x << 0 köklerini bulalým.

Ýlk kökü 3'tür. Ýkincisi ise 0'dýr. [3, 0] olarak ifade edilir.

Örnekleri çoðaltabilirsiniz.

( # ) Köklü Denklemler

Örnek:Karekök içinde x - 3 = x + 4

çözmeden önce kareköklü ifadeyi karekökten çýkarmak için eþitliðin her iki tarafýnýn karesini almalýyýz. Devamýna bakalým,

x - 3 = ( x + 4 )² denkliðinden
x - 3 = x² + 8x + 16
x - 3 - x² - 8x - 16 = 0
x² + 19 + 9x = 0 'dýr.

Örnekleri çoðlatabilirsiniz.
alýntý

MiM

ÝKÝNCÝ DERECEDEN BÝR BÝLÝNMEYENLÝ DENKLEM

TANIM: a, b, c reel sayý ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiþ ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir Denklemi saðlayan (eðer varsa) x reel sayýlarýna denklemin kökleri, tüm köklerin oluþturduðu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapýlan iþleme de denklem çözme denir
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e baðlý ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dýr
ÖRNEK: 2y2 –5y+1 = 0
Ýfadesi y ye baðlý ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir


ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduðuna göre, a kaçtýr?

ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olmasý için denklemde x3 lü terim olmamalýdýr
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur

KÖK BULMA
1ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarýna ayrýlabiliyorsa her çarpan sýfýra eþitlenerek kökler bulunur
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduðuna göre x1 + x2 toplamý kaçtýr?

ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x – 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2  42-x –18 = 0 denkleminin kökleri toplamý kaçtýr?

ÇÖZÜM: 4x + 2  42-x –18 = 0
4x + 2  42  4-x –18 = 0
1
4x + 32  4x –18 = 0
(4x)2 –18 (4x ) + 32 = 0

-16 -2
(4x –16)  (4x –2) = 0
4x –16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x –2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur

a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;

c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diðeri a dýr

- c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diðeri a dýr

ÖRNEK: 9x2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduðundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = - 8 dur
9
nÖRNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamý kaçtýr?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m –n + 2, c = -n ve
b = a + c olduðundan denklemin köklerinden biri -1 dir
Diðer kök 6 olduðundan kökler toplamý
-1 + 6 = 5 olur
nax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz
n∆ = b2 –4ac
ni) ∆ < 0 ise reel kök yoktur
nii) ∆ = 0 ise kökler eþittir (x1 = x2)
niii) ∆ > 0 ise iki farklý reel kök vardýr
n ∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
n -b + -b
n x1 = 2a ve x2 = 2a þeklinde bulunur

nÖRNEK: x2 – 4x + m + 1 = 0 denkleminin eþit iki kökünün olmasý için m kaç olmalýdýr?

ÇÖZÜM: Denklemin eþit iki kökün olmasý için ∆ = 0 olmalýdýr
∆ = (-4)2 –4 1 (m + 1)
0 = 16 –4m = 12 –4m
m = 3 bulunur

nÖRNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
ndenklemin kökleri eþit olduðuna göre, a’ nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? (1998 / ÖSYS)

ÇÖZÜM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eþit ise ∆ = 0 olmalýdýr
∆ = 4 (a + 7)2 –4  27  (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi saðlayan a deðerlerinin toplamý
(-13)
a1 + a2 = - 1 = 13 olur
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olmasý için b = 0 olmalýdýr
ii) Simetrik iki reel kökünün olmasý için,
b = 0 ve a c > 0 olmalýdýr

ÖRNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduðuna göre, a kaçtýr?

ÇÖZÜM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olmasý için,
a2 –4 = 0 ve 4 a > 0 olmalýdýr
a2 –4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir
4a < 0 => a < 0 olmalýdýr O halde a = -2 olur

KÖKLER ÝLE KATSAYILAR ARASINDAKÝ BAÐINTI

ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1  x2 = a

3)|x1 - x2| = |a|

1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1  x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2

6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12  X22
b2 –2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 –3x x2(x + x2)
3abc-b3
= a3

ÖRNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduðuna göre, diskriminantý kaçtýr?

ÇÖZÜM: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1  x2 = a => p q= 2
2pq = p2 + q2 p2 –2pq + q2 = 0
(p – q)2 = 0 ise
p – q = 0
p = q dur
O halde, kökler eþit olduðundan ∆=0 dýr

ÖRNEK: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduðuna göre
a’ nýn hangi deðeri için x1 + x2 + x1  x2 = 5 olur?

ÇÖZÜM: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1  x2 = a dýr O halde,
x1 + x2 + x1  x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur

ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denklemin kökleri sýfýrdan farklý olan x1 ve x2 sayýlarýdýr

ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3x2
c x1x2 = a => x1x2 = -3x2 x1 = -3 tür
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 –4
x2 = -2x1 –4
x2 = -2(-3) –4
x2 = 2 olur
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur
KÖKLERÝ VERÝLEN ÝKÝNCÝ DERECE DENKLEMÝN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a  (x – x1)  (x – x2) = 0 dir Bu denklem düzenlenirse,
x2 –(x1 + x2)  x + x1  x2 = 0 denklemi elde edilir

ÖRNEK: Kökleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?

ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1  x2 = 0 dýr
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 – (-2 + 3)x + (-2)  3 = 0
x2 –x -6 = 0 olur

EÞÝTSÝZLÝK ÇÖZÜMLERÝ f(x)

f(x) > 0, f(x)  g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb eþitsizliklerinin her birini çözebilmek için aþaðýdaki basamaklar sýrasýyla uygulanmalýdýr:
1)Her bir çarpan sýfýra eþitlenerek kökleri bulunur
2)Bulunan köklerin sayý adedi incelenir
aBir kökün sayý adedi tek ise, bu köke tek katlý kök denir ve sayý doðrusunda tek çizgi ile gösterilir
bBir kökün sayý adedi çift ise bu köke çift katlý kök denir ve sayý doðrusunda çift çizgi ile gösterilir
3)Bulunan kökler, sayý doðrusunda küçükten büyüðe sýralanýr ve tek-çift katlý kökleri belirtilir
4)Her bir çarpanýn en büyük dereceli teriminin iþareti parantezinin kuvveti ile birlikte alýnarak çarpýlýr ve bir iþaret bulunur
5)Bulunan iþaret ile sayý doðrusunun en saðýndan (+∞ tarafýndan) baþlanýr Tek katlý köklerden geçerken iþaret deðiþtirilir ve çift katlý köklerden geçerken iþaret deðiþtirilmez
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur

ÖRNEK: (x-1)  (3-x) ≥ 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduðundan tek katlý köklerdir
3) x -∞ 1 3 +∞
- + -

0 0

(+)(-) = (-)
ÇK= {x * 1≤ x ≤ 3, x € R}

ÖRNEK: (x+2)  (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x –2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduðundan, tek katlý köklerdir



3) x -∞ -2 -1 2 +∞
- + - +

0 ∞ 0

4)(+)  (+)  (+) = (+)
Ç = {x € |R : x ≤ -2 veya –1 < x ≤ 2} dir


Eþitsizliklerde n € Z olmak üzere, (x – a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacaðýndan iþleme alýnmayabilir Bu durumda, sadece içlerini sýfýr yapan noktalar incelenmelidir


(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0

eþitsizliðini çözmek yerine
x2 + 3x –4 < 0
eþitsizliðini çözmek yeterlidir
Ayrýca, (3 –x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalýdýr
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x –4 + - +
Ýstenen eþitsizliðin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur

Ýçinde birden fazla eþitsizlik bulunduran ifadelere eþitsizlik sistemi denir
Eþitsizliklerin hepsini ayný anda saðlayan deðerlerin bulunduðu kümeye eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir
eþitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eþitsizlik ayrý ayrý çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur

nÖRNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5

Þimdide her birinin ayrý ayrý iþaretini inceleyelim
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) - - - + -

(1-x)(5+x) - + - - -

Ýþaret tablosunda görüldüðü gibi, birinci eþitsizliðin (-), ikinci eþitsizliðin (+) olduðu bölge [-5, 1] aralýðýdýr O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir

i)ax2 + bx + c > 0
eþitsizliðinin daima saðlanmasý için
a > 0 ve ∆ = b2 – 4ac <0 olmalýdýr
-∞ +∞

+

ii)ax2 + bx + c < 0
eþitsizliðinin daima saðlanmasý için
a < 0 ve ∆ = b2 –4ac <0 olmalýdýr
-∞ +∞

-

ÖRNEK: (m –2)x2 + (m –2)x + m –1 < 0
eþitsizliði x € R için saðlanýyor ise m nedir?

ÇÖZÜM: (m-2)x2 + (m –2 )x + m –1
a = m –2, b = m –2, c = m –1
a < 0 ve ∆ < 0 olmalýdýr
a = m –2 < 0 => m < 2  1
∆ = b2 –4ac < => (m –2)2 –4(m –2)  (m –1) < 0
(m –2) (m –2 –4m + 4) < 0
(m –2) (-3m + 2) < 0
(m –2) (-3m + 2) ifadesinin iþaret tablosuna bakýlýrsa,
2
m -∞ 3 2 +∞

- + -

(m –2) (-3m + 2) < 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi m < 3 veya m > 2dir2
1 ve 2 yi saðlayan m deðerleri m < 2 dür
3

BÝR k REEL SAYISININ ÝKÝNCÝ DERECE DENKLEMÝNÝN KÖKLERÝYLE KARÞILAÞTIRILMASI
nf(x) = ax2 + bx +c denkleminin kökleri arasýnda x1 < x2 ve k € R olsun
ni) x1 < k < x2 ise a  f(k) < 0 dýr
nii) k < x1 < x2 ise,
a) ∆ > 0 b) a  f(k) > 0 c) k < -b olmalýdýr
2aniii) x1 < x2 < k ise
a) ∆ > 0
b) a  f(k) > 0 c) k > -b olmalýdýr
2a

iv) a  f(k) = 0 ise, k köklerden birine eþittir Bu durumda aþaðýdaki üç maddeye bakýlýr

-b
a)k > 2a ise x1 < k = x2
-b
b)k < 2a ise k = x1 < x2
-b
c)k = 2a ise k = x1 = x2 dir olur

ÖRNEK: x2 –(m + 1)x + m = 0 denkleminin
0 < x1 < 2 < x2 koþulunu saðlayan iki kökünün olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr?

ÇÖZÜM: f(x) = x2 –(m + 1)x + m
x1 < 2 < x2 => a  f(2) < 0
=> 1  (22 –2m –2 + m) < 0
=> -m + 2 < 0 => m > 2 dýr

ÖRNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir
x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 olmasý için p’nin alabileceði deðerler nedir?

ÇÖZÜM: Denkleminin kökleri x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 þartlarýný saðladýðýna göre,
x1x2 < 0 ve x1 + x2 < 0 dýr
c 5(p – 2)
x1x2 = a = p + 6 < 0  (1)
-b 17(p + 1)
x1 + x2 = a = p + 6 < 0(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0

p -6 -1 2

x1x2 + - - +
x1 + x2 - + - -
Ç
Ç = (-1 , 2) dir

Fussilet

denklem ve eþitsizlikler testlerini aþaðýdan indirebilirsiniz
içimdeki tüm putlarý kýrdým ve sana yöneldim Rabbim...
Bu geliþimi kabul et, beni benden al, beni sana baðýþla...
-Fussilet-
_____________________________________________
Bugün gam tekkegahýnda feda bir canýmýz vardýr
Gönül abdal-ý aþk olmuþ gelin kurbanýmýz vardýr
Çimende bülbülü gördüm yaman efgan ile söyler
Dili kahhar ile her dem gül-i handanýmýz vardýr


Urfalý Abdi


Oruç nedir?, Orucu Bozan Haller ,  Ramazan Orucu...

Yukar git