Temmuz 20, 2019, 02:53:37

Haberler:

Eðer onlar seni, hakkýnda bilgin olmayan bir þeyi (körü körüne) bana ortak koþman için zorlarlarsa, onlara itaat etme. Onlarla dünyada iyi geçin. Bana yönelenlerin yoluna uy. Sonunda dönüþünüz ancak banadýr. O zaman size, yapmýþ olduklarýnýzý haber veririm. (Lokman -15)


ikinci dereceden denklemler

Balatan MiM, Aralk 14, 2008, 11:52:09

« nceki - sonraki »

0 ye ve 1 Ziyareti konuyu incelemekte.

Aa git

MiM

Ýkinci Dereceden Denklemler


MÖ 2000'lerde Mezopotamyalýlar ikinci dereceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü) bulmak için algoritma geliþtirmiþlerdi. Mýsýrlýlarýn da MÖ 2160-1700 tarihleri arasýnda ikinci dereceden denklemlerin kökünü bulmayý bildikleri Berlin papirüsünden anlaþýlýyor.

Ama o zamanlar daha "denklem" kavramý geliþmemiþti ve gerçek yaþamdan alýnan problemlerde ortaya çýkan, dolayýsýyla pozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denklemlerle uðraþýlýrdý.

Yunanlýlar MÖ 300 yýllarýnda ikinci dereceden bir denklemi geometrik yöntemlerle çözebiliyorlardý. Yunanlýlar için de bir sayý daha çok bir uzunluktu. Yunanlý Diofantus ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu, ama köklerden sadece birini buluyordu, köklerin her ikisi de pozitif olduðu zaman bile.

Hintli Aryabhata her iki kökü birden bulmasýný biliyodu. Ama bu bilgi daha sonra unutulmuþa benziyor, çünkü Brahmagupta köklerden sadece birini bulabiliyormuþ gibi bir intiba býrakmýþtýr. Mahavira en azýndan pozitif kökü bulmayý mutlaka biliyordu, Sridhara da öyle.

Türk Harizmi ve Ýranlý Ömer Hayyam da pozitif kökü bulmayý biliyorlardý. Ömer Hayyam ayrýca üçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kökü olabileceðini de biliyordu. 1000 yýllarýnda Araplar ax2n+bxn+c=0 denklemini ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliyorlardý.

Ýspanyol Abraham bar Hiyya-Ha-Nasi ya da Savasorda ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Batý'da ilk kez yayýmlayan kiþi olarak bilinir (Liber Embadorum kitabýnda.) Viéte (1540-1603), geometrik yöntemler yerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk Batýlý matematikçi olmuþtur. Al-Harazmi bunu çok daha önceden biliyordu.

MiM

DERECE NEDÝR?
Bir harfli ifadede en büyük kuvvet bu ifadenin derecesini verir.
X2Y3 → 3. derece
-7X5 + 6Y4 → 5. derece
2X4Y2 + 3z → 3 bilinmeyenli ve 4. derece
-X Y3 - 6x5 → 2 bilinmeyenli ve 5. derece

☺2.DERECE denklem NEDÝR?

Ýkinci derece bir bilinmeyenli denklemler ax2 + bx + c = 0 þeklindedir.
Burada a , b ve c sayýlarý reel sayýdýr. a sayýsý sýfýrdan farklý olmalýdýr.
Çünkü a = 0 olursa denklem bx + c = 0 þekline dönüþür ve birinci derece denklem olur.

☺KÖK NEDÝR?
Denklemin gösterdiði eþitliði saðlayan sayýlara denklemin çözümü ( kök )denir.
Örneðin 1 ve 2 sayýlarý x2 - 3x + 2 = 0 denkleminin kökleridir.
Çünkü denklemde x yerine bu sayýlarý koyarsak :
x = 1 için 12 - 3.1 + 2 = 0
x = 2 için 22 - 3.2 + 2 = 0 denklemin gösterdiði eþitlik gerçeklenir.
Fakat x = 3 sayýsý bu denklemin bir kökü deðildir.
x = 3 için 32 - 3.3 + 2 = 0
2 ≠ 0
Denklemin gösterdiði eþitlik x = 3 için doðru deðildir.
Bir denklemin en fazla derecesi kadar reel kökü olabilir. Bunun sonucu olarak ikinci derece denklemin en fazla 2 tane reel kökü vardýr.

MiM

ÝKÝNCÝ DERECE DENKLEMÝ Babilliler, Mýsýrlýlar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlýþý ýlý memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduðunu biliyorlardý. Çinliler ayrýca matris bloklarýný ve bambu çubuklarý kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardý. Daha sonraki gelen halklarda bu geometrik þekilleri kullanarak bu denklem sistemine sayýsal çözümler bulmuþlardýr. Eski halklarda sistemli bir ispat yöntemi bulunmadýðýndan hu tür iþlemler daha çok deneme biçiminde yürütülüyordu. Çinlilerde de sistemli bir ispat yöntemi yoktu. Bunlarý söylerken, eski Babil, Mýsýr ve Çin anlatýlýyor. Çinlilerin ikinci derece denklemine dönüþen problemleri Dokuz Bölüm isimli kitapta iki tane denklemle verilir. Bu denklemler arasýnda bilinmeyenin birisi yok edilerek sonuçta ikinci derece denklemi bulunur. Sonra denklem kendi yöntemleriyle çözülür. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitabýndaki 11. problem þöyledir. Bir kapýnýn boyu eninden 6.8 birim daha fazladýr. Kapýnýn köþegeninin uzunluðu da 10 birimdir. Kapýnýn enini ve boyunu hesaplayýnýz. Problemin ifadesine göre boyutlar x ve y ise x-y = 6.8 ve x2 + y2=100 denklem çifti yazýlýr. Çinliler bu problemi daha çok Pisagor yöntemiyle çözerler. Eðer bu problemi biz x - y = d ve x2 + y2 = c2 biçiminde yazarsak, (x + y)2 = 4xy + (x - y)2 ve c2 = 2xy+(x - y)2 yada 4xy = 2c2 - 2(x - y)2 yazýlýr. Buradan (x + y)2 = 2c2-(x - y)2 ya da x+y= yazýlýr. Eþitliðin her iki yaný 2 sayýsýyla bölünürse, olur. Buradan x +y = 12.4 gelir. x-y = 6.8 olarak verilmiþti. Buradan x = 9.6 ve y = 2.8 olarak bulunur. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitaplardaki problemler daha çok doðrusal ve ikinci derece olan denklem sistemleri biçimlerine dönüþür. Bu tür örnekler Çinlilerde fazladýr. Oysa Eski Babillilerdeki tabletler x + y = b ve xy = c biçimlere dönüþen problemlerle doludur. Babillilerin problemleri daha çok alan ve çevre türünde düzenlenmiþtir. Alaný c ve çevresi 2b olan çok sayýda Babil tableti bulunmuþtur. Bu tabletler x = b/2 + z ve y = b/2 - z boyutlu dikdörtgen ve c alaný t. . (b/2 + z) (b/2 - z) = (b/2)2 - z2 biçiminde alýnarak hesaplar yapýlmýþtýr. Bu hesaplamalara göre olur. Buradan ve y = deðerleri istenilen denklem sisteminin çözümüdür. Burada yazdýðýmýz modern gösterimler, Babillilerin tabletlerinde yapýlan çözümlerin yorumlanmasý ve açýklanmasý türendedir. Babilliler aslýnda formül vermemiþlerdir. Her problemi çözerken çözümde kullandýklarý yöntemler bunlardýr. Babilli yazýcýlar bu iþlemi geometrik olarak nasýl yapmýþlar ve nasýl tabletlere geçirmiþlerdir? Þimdi onu gösterelim. Yine x + y = b ve xy = c olarak verilsin. Burada x deðerine uzun kenar ve y deðerine de kýsa kenar diyorlar. Daha kýsa deyimle x uzunluk ve y de geniþlik olarak alýnýyor. Buna göre problemin ifadesinden genel olarak x + y = b ve xy = c gösterimleri geliyor. Modern dille bu iki denklem sisteminden uzunluk denen x ve geniþlik denen y deðeri hesaplanacak. Bu hesaplamalarý geometrik olarak þu þekle dayandýrýyorlar. Yani komutlarýndan böyle yaptýklarý anlaþýlýyor. Önce b sayýsýný ikiye bölüyor ve b/2 kenarlý kareyi çiziyor. Burada b/2 = x - (x - y)/2 = y + (x - y)/2 biçiminde ve b/2 = (x + y)/2 olduðundan, b/2 kenarlý karenin üa-ný xy = c alanýndan (x - y)/2 kenarlý karenin alaný kadar daha fazladýr. Yani, x+y=b ve xy=c olan denklem sisteminin çözümünün geometrik yorumu olur. Yukarýdaki þekle göre b/2 sayýsýna sayýsýný bir kez ekler ve bir kez de çýkarýrsak sýrasýyla

SORU-1 :
SORULAR
1)2x 2 - 8x + 6 = 0 denklemini çözünüz.


CEVAP-1 :
∆ = 8 2 - 4 . 2 . 6 = 16 ve 16 >0 olup farklý iki çözüm vardýr. x 1 = ( - (-8) + √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 + 4 ) / 4 = 3 ve x 2 = ( - (-8) - √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 - 4 ) / 4 = 1 olur. Ç = { 1 , 3 }


SORU-2 :
2) x 2 + 4x -2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Kökleri x 1 + 3 ve x 2 + 3 olan denklemi bulunuz.

CEVAP-2 :
Denklemin kökler toplamý -4 / 1 = -4 ve kökler çarpýmý (-2) / 1 = -2 dir. Kurmak istediðimiz denklemin kökler toplamý T = x 1 + 3 + x 2 + 3 = -4 + 6 = 2 dir. Kökler çarpýmý ise Ç = ( x 1 + 3 ) . ( x 2 + 3 ) = x 1 . x 2 + 3 . ( x 1 + x 2 ) + 9 = -2 + 3 . (-4) + 9 = -5 olur. Denklem x 2 - Tx + Ç = 0 þeklindedir. x 2 - 2x - 5 = 0 aradýðýmýz denklemdir.


SORU-3 :
3) x 2 + xy =12 denklem sistemini çözünüz.
xy + y 2 = 4


CEVAP-3 :
Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa toplanýrsa x 2 + 2xy + y 2 = 16 ve taraf tarafa çýkarýlýrsa x 2 - y 2 = 8 denklemleri elde edilir. ( x + y ) 2 = 16 ise x + y = 4 veya x + y = - 4 olacaktýr.
x 2 - y 2 = 8 ifadesi x + y = 4 ve x + y = - 4 ifadeleriyle taraf tarafa ayrý ayrý bölünürse x - y = 2 ve x - y = -2 elde edilir.
x + y = 4 ve x + y = - 4 denklem sistemleri ayrý ayrý çözülürse x = 3 , y = 1 ve
x - y = 2 x - y = -2 x = -3 , y = -1 olur.
Ç = { (3 , 1) , (-3 , -1) }

Yukar git